Kurs:Topologie (Osnabrück 2008-2009)/Vorlesung 19

Der Satz von Seifert und van Kampen

Gegeben ein wegzusammenhängender topologischer Raum ${}X$ mit Basispunkt ${}x_{0}\in X$ und wegzusammenhängende Unterräume ${}Y,Z\subseteq X$ mit ${}x_{0}\in Y\cap Z$, so liegt die Frage nahe, inwieweit die Fundamentalgruppe von ${}X$ durch die Fundamentalgruppen von ${}Y$ und ${}Z$ bestimmt ist. Als Beispiel diene die Einpunktvereinigung ${}S^{1}\vee S^{1}$. In diesem Fall ist es plausibel, dass die Elemente von ${}\pi _{1}(S^{1}\vee S^{1})$ zum Beispiel so aussehen:

${}a^{2}b^{-3}a^{-1}ba^{5}\,,$

wobei ${}a$ der Erzeuger der Fundamentalgruppe der linken ${}S^{1}$ und ${}b$ der Erzeuger der Fundamentalgruppe der rechten ${}S^{1}$ ist. Um dies zu präzisieren, ist ein algebraischer Exkurs über freie Produkte von Gruppen erforderlich.

Definition

Algebra/Theorie der Gruppen/Freies Produkt/Wort/Definition

Beispiel

Algebra/Theorie der Gruppen/Freies Produkt/Wort/Beispiel

Definition

Algebra/Theorie der Gruppen/Freies Produkt/Relation/Definition

Beispiel

Algebra/Theorie der Gruppen/Freies Produkt/Relation/Beispiel

Algebra/Theorie der Gruppen/Freies Produkt/Fakt

Beweis

Algebra/Theorie der Gruppen/Freies Produkt/Fakt/Beweis

$\Box$

Beispiel

Algebra/Theorie der Gruppen/Freies Produkt/Beispiel

Satz ((Seifert-van Kampen)

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, der durch weg-zusammenhängende offene Teilmengen ${}\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ überdeckt ist. Es sei ${}x_{0}\in \bigcap _{\alpha \in A}U_{\alpha }$ der Basispunkt.

1. Ist ${}U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ wegzusammenhängend für alle ${}\alpha \neq \beta$, so ist der kanonische Gruppenhomomorphismus

   ${}\Phi \colon \star _{\alpha \in A}\pi _{1}(U_{\alpha })\to \pi _{1}(X)\,$

   surjektiv.
2. Ist ${}U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\gamma }$ wegzusammenhängend für alle ${}\alpha ,\beta ,\gamma$, so ist der Kern von ${}\Phi$ die normale Untergruppe, die von Elementen der Form

   ${}i^{\alpha \beta }(g)i^{\beta \alpha }(g^{-1}),\quad \alpha ,\beta \in A,\quad g\in \pi _{1}(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\,$

   erzeugt ist. Hierbei ist ${}i^{\alpha \beta }\colon U_{\alpha }\cap U_{\beta }\hookrightarrow U_{\alpha }$

   die kanonische Einbettung.

Beweis

Es sei ${}f\colon I\to X$ eine Schleife an ${}x_{0}$. Dann gibt es eine Unterteilung ${}0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{n}=1$ des Intervalls ${}I$ derart, dass ${}f([t_{i-1},t_{i}])\subseteq U_{\alpha (i)}=\colon U_{i}$. Insbesondere ist ${}f(t_{i})\in U_{i}\cap U_{i+1}$. Verbinde ${}f(t_{i})$ mit ${}x_{0}$ über einen Weg ${}w_{i}$, der ganz in ${}U_{i}\cap U_{i+1}$ liegt. Dann ist ${}f$ homotop relativ ${}\{0,1\}$ zu der Schleife, die durch Einfügen von ${}w_{i}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{i}}}$ an jeder Stelle ${}t_{i}$ entsteht. Letztere ist im Bild der kanonischen Abbildung ${}\Phi$.

Es sei nun ${}a=a_{1}a_{2}\dots a_{k}$ ein Wort im Alphabet ${}\coprod _{\alpha \in A}\pi _{1}U_{\alpha }$, also ${}a_{i}=[f_{i}]$, wobei ${}f_{i}$ Schleife in ${}U_{i}$ an ${}x_{0}$. Es sei ${}\Phi (a)=1\in \pi _{1}X$, und wähle eine Nullhomotopie ${}F\colon I\times I\to X$. Wegen der Kompaktheit von ${}I\times I$ existiert eine Zerlegung von ${}I\times I$ in Rechtecke ${}R_{ij}$ derart, dass

1. ${}\forall \,ij\,\exists \,\alpha (ij)\in A\colon F(R_{ij})\subseteq U_{\alpha (ij)}$,
2. jeder Punkt aus ${}I\times I$ in höchstens dreien dieser Rechtecke liegt und
3. die durch die Rechtecke ${}R_{11},R_{21},\dots ,R_{m1}$ gegebene Unterteilung von ${}I\times \{0\}$ feiner ist als die Unterteilung, die durch ${}f\colon =f_{1}{\scriptscriptstyle {\Box }}\dots {\scriptscriptstyle {\Box }}f_{k}$ gegeben ist.

Jeder Weg in ${}I\times I$ von einem Punkt ${}(0,t)$ zu einem Punkt ${}(1,t^{\prime })$ liefert eine Schleife in ${}X$ an ${}x_{0}$, nach Komposition mit ${}F$. Es sei ${}p(ij)$ der Weg, der die Rechtecke ${}R_{i'j'}$ mit ${}i'j'<ij$ (lexikographische Ordnung) von den übrigen trennt. Um aus jedem Weg ${}p(ij)$ ein Wort im Alphabet ${}\coprod _{\alpha \in A}\pi _{1}U_{\alpha }$ zu erhalten, wähle zu jeder Ecke ${}v$ in der Unterteilung von ${}I\times I$ mit ${}F(v)\neq x_{0}$ einen Weg ${}w_{v}$ von ${}F(v)$ zu ${}x_{0}$, der

1. ganz im Schnitt der drei ${}U_{\alpha }$'s liegt, die ${}F(v)$ enthalten, sofern ${}v$ im Innern von ${}I\times I$ liegt, oder,
2. falls ${}v\in I\times \{0\}$, im Schnitt der zwei ${}U_{\alpha }$'s, die ${}F(v)$ enthalten, mit dem ${}U_{\alpha }$, welches ${}f_{i}(v)$ enthält, liegt.

Einfügen von ${}{w_{v}}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{v}}}$ an der Stelle ${}v$ liefert einen zu dem Weg ${}F\circ p(ij)$ homotopen Weg. Diesen Weg kann man auf verschiedene Arten als Wort im Alphabet ${}\coprod _{\alpha \in A}\pi _{1}U_{\alpha }$ interpretieren. Die Variation besteht darin, ein Teilstück, welches ja nach Konstruktion nach ${}U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ abgebildet wird, einmal als Weg in ${}U_{\alpha }$ oder als Weg in ${}U_{\beta }$ aufzufassen. Der durch ${}p(ij)$ bestimmte Weg ist homotop zu seinem Nachfolger, wobei die Homotopie gerade in ${}U_{\alpha (ij)}$ liegt - sie ist durch das Rechteck ${}R_{ij}$ gegeben. Es folgt, dass der vorgegebene Weg im beschriebenen Normalteiler liegt.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}S^{1}\vee S^{1}$ die Einpunkt-Vereinigung von zwei Kopien der ${}S^{1}$, punktiert an ${}1\in S^{1}$. Es sei ${}U=S^{1}\vee (S^{1}\smallsetminus \{-1\}),\,V=(S^{1}\smallsetminus \{-1\})\vee S^{1}$. Dann sind ${}U,V$ homotopieäquivalent zu ${}S^{1}$, also wegzusammenhängend. Und ${}U\cap V$ ist zusammenziehbar, also auch wegzusammenhängend. Nach dem Satz von Seifert-van Kampen ist der kanonische Gruppenhomomorphismus

${}\Phi \colon \pi _{1}(U)\star \pi _{1}(V)\cong \pi _{1}(S^{1})\star \pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z} \star \mathbb {Z} \to \pi _{1}(S^{1}\vee S^{1})\,$

also surjektiv. Da nur zwei offene Mengen in der Überdeckung auftauchen, ist die Bedingung an dreifache Schnitte automatisch erfüllt, und der Kern von ${}\Phi$ ist nach dem Satz von Seifert-van Kampen erzeugt durch Äquivalenzklassen von Wörtern, deren Elemente aus der trivialen Gruppe ${}\pi _{1}(U\cap V)$ stammen, also selbst trivial. Somit ist ${}\Phi$ auch injektiv, und demnach ein Isomorphismus. Die Fundamentalgruppe von ${}S^{1}\vee S^{1}$ ist somit die überaus reichhaltige freie Gruppe auf zwei Erzeugern.

Das Argument läßt sich auf eine Einpunkt-Vereinigung von beliebig vielen wegzusammenhängenden und lokal zusammenziehbaren Räumen anwenden.

Beispiel

Es sei ${}S^{1}\times S^{1}$ der Torus, offen überdeckt durch ${}U=S^{1}\times S^{1}\smallsetminus \{1,1\}$ und eine kleine offene Kugel ${}V$ um ${}(1,1)\in S^{1}\times S^{1}$. Dann ist ${}U$ homotopieäquivalent zu ${}S^{1}\vee S^{1}$, also wegzusammenhängend, und ${}V$ ist zusammenziehbar, also auch wegzusammenhängend. Der Schnitt ${}U\cap V$ ist homotopieäquivalent zu ${}S^{1}$, demnach ist der Satz von Seifert-van Kampen anwendbar. Der kanonische Gruppenhomomorphismus

${}\Phi \colon \pi _{1}(U)\star \pi _{1}(V)\cong \pi _{1}(S^{1}\vee S^{1})\star \pi _{1}(\ast )\cong \mathbb {Z} \star \mathbb {Z} \to \pi _{1}(S^{1}\times S^{1})\,$

ist also surjektiv. Da nur zwei offene Mengen in der Überdeckung auftauchen, ist die Bedingung an dreifache Schnitte automatisch erfüllt, und der Kern von ${}\Phi$ ist nach dem Satz von Seifert-van Kampen erzeugt durch Äquivalenzklassen von Wörtern, deren Elemente aus der Gruppe ${}\pi _{1}(U\cap V)$ stammen. Nun reicht es offensichtlich, ein erzeugendes Element von ${}\pi _{1}(U\cap V)\cong \pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z}$ zu betrachten. Das Bild in ${}\pi _{1}(V)$ ist natürlich trivial, und das Bild in ${}\pi _{1}(U)\cong \mathbb {Z} \star \mathbb {Z}$ ist das Produkt ${}aba^{-1}b^{-1}$, wenn den die Erzeuger ${}a,b\in \pi _{1}(U)$ passend gewählt sind. Der Kern von ${}\Phi$ ist also gerade der Kommutator, und die Fundamentalgruppe von ${}S^{1}\times S^{1}$ ist isomorph zur freien abelschen Gruppe auf zwei Erzeugern.

Beispiel

Es sei ${}A_{4g}$ ein reguläres ${}4g$-Eck. Identifiziere die erste mit der dritten, die zweite mit der vierten, die fünfte mit der siebten Kante und so weiter, wobei der Endpunkt der ersten mit dem Anfangspunkt der dritten usw. verklebt wird. Das Resultat ${}F_{g}$ ist die orientierbare Fläche vom Geschlecht ${}g$. Das Resultat im Falle ${}1\leq g\leq 3$ sieht so aus:

• 
  Geschlecht 1
• 
  Geschlecht 2
• 
  Geschlecht 3

Die Fundamentalgruppe bestimmt man mit Hilfe des Satzes von Seifert-van Kampen wie schon beim Torus. Es sei ${}U=F_{g}\smallsetminus \{x\}$ und ${}V$ eine kleine offene Kugel um ${}x\in F_{g}$. Dann ist ${}U$ homotopieäquivalent zu ${}\bigvee _{1\leq i\leq 2g}S^{1}$, also wegzusammenhängend, und ${}V$ ist zusammenziehbar, also auch wegzusammenhängend. Der Schnitt ${}U\cap V$ ist homotopieäquivalent zu ${}S^{1}$, also wieder wegzusammenhängend. Der kanonische Gruppenhomomorphismus

${}\Phi \colon \pi _{1}(U)\star \pi _{1}(V)\cong \star _{1\leq i\leq 2g}\mathbb {Z} \to \pi _{1}(F_{g})\,$

ist also surjektiv. Es seien ${}a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\dots ,a_{g},b_{g}$ die durch die Kanten gegebenen Erzeuger von ${}\pi _{1}(U)$. Der Kern von ${}\Phi$ ist der vom Produkt

${}a_{1}b_{1}a_{1}^{-1}b_{1}^{-1}a_{2}\dots a_{g}b_{g}a_{g}^{-1}b_{g}^{-1}\,$

erzeugte Normalteiler. Insbesondere ist ${}\pi _{1}(F_{g})$ nicht abelsch für ${}g\geq 2$.

Beispiel

Auch nichtorientierbare Flächen lassen sich mit Satz von Seifert-van Kampen verarzten. Es sei etwa ${}\mathbb {RP} ^{2}$ gegeben als Quotientenraum von ${}I\times I$ gemäß folgenden Identifikationen:

• 

Die Fundamentalgruppe ist - wie wir schon wissen - die Gruppe erzeugt von der Schleife ${}BA$ mit der Relation ${}(BA)^{2}=1$. Die [[[w:en:Klein_bottle|Klein'sche Flasche]]] ist Quotientenraum von ${}I\times I$ gemäß folgenden Identifikationen:

• 

Die Fundamentalgruppe der Klein'schen Flasche ist die Gruppe erzeugt von den Schleifen ${}A,B$ mit der Relation ${}ABAB^{-1}=1$. Jede andere nichtorientierbare Fläche erhält man aus der reell projektiven Ebene bzw. der Klein'schen Flasche, indem man Henkel anklebt.

Es ist tatsächlich möglich, folgenden Satz über die Klassifikation von Flächen, also zweidimensionalen topologischen Mannigfaltigkeiten, zu beweisen. Der Beweis ist aber aufwendig.

Satz

Zwei kompakte zusammenhängende zweidimensionale topologische Mannigfaltigkeiten sind schon dann topologisch äquivalent, wenn ihre Fundamentalgruppen isomorph sind.

Beispiel

Topologie/Theorie der Fundamentalgruppe/Seifert-van Kampen/Borromäische Ringe/Beispiel