Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Regularitätkriterium

T-Regularitätskriterium

Ein Element $z\in A$ besitzt genau ${\mathcal {T}}_{e}^{k}$-regulär in ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {PC}}_{e}^{k}}$, wenn es für alle ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ ein ${\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ und eine isotone Folge von Gaugefunktionalen ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ als Stetigkeitssequenz der Addition und positive Konstanten ${\textstyle D_{(\alpha ,k)}}$ gibt, für die gilt:

• (T1) ${\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq D_{(\alpha ,k)}\cdot \left\|x\right\|_{\beta }}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ und
• (T2) ${\textstyle \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|z\cdot x\right\|_{(\alpha ,k+1)}}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$.

Stetigkeitssequenz der Addition

Die Stetigkeitssequenz der Addition ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ erfüllt die Bedingung.

$\left\|x+y\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k+1)}+\left\|y\right\|_{(\alpha ,k+1)}$

Damit kann man für die Regularitätsbeweise folgenden Abschätzung für Differenzen durchführen:

$\left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|x-y\right\|_{(\alpha ,k+1)}+\left\|y\right\|_{(\alpha ,k+1)}$

Angewendet auf das obige Regulariätskriterium erhält man:

$\left\|z\cdot x\right\|_{(\alpha ,k)}-\left\|y\right\|_{(\alpha ,k+1)}\leq \left\|z\cdot x-y\right\|_{(\alpha ,k+1)}$

Aufgabe für Studierende

Betrachten Sie bei der ${\mathcal {PC}}$-Regulariät die Abschätzung der Quotientenhalbnormen nach unten.

• Welche Analogie und Unterschiede gibt es zwischen der Abschätzung bei Quasihalbnormen und Stetigkeitskonstanten der Addition und einer Stetigkeitssequenz der Addition bei beliebigen topologischen Algebren.

Siehe auch

• Topologische Algebra
• Stetigkeitssequenz

Seiteninformation

Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

Wiki2Reveal

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.

• Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
• Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium
• siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.