Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Vorlesung 8/latex
\setcounter{section}{8}
\zwischenueberschrift{Angeordnete Körper}
\inputdefinition
{Angeordneter Körper}
{
Ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ heißt \definitionswort {angeordnet}{,} wenn es eine
\definitionsverweis {totale Ordnung}{}{}
$\geq$ auf $K$ gibt, die die beiden Eigenschaften
\aufzaehlungzwei {Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \geq }{ b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a + c
}
{ \geq }{ b + c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {für beliebige
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ a , b , c
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {,}
} {Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a b
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {für beliebige
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ a, b
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {,}
}
erfüllt.
}
Statt
\mathl{a \geq b}{} schreibt man auch
\mathl{b \leq a}{.} Eine wichtige Beziehung in einem angeordneten Körper ist, dass
\mathl{a \geq b}{} äquivalent zu
\mathl{a-b \geq 0}{} ist. Diese Äquivalenz ergibt sich durch beidseitiges Addieren von
\mathkor {} {-b} {bzw.} {b} {} aus dem ersten Axiom. In einem angeordneten Körper nennt man ein Element
\mathl{a \in K}{}
\definitionswortenp{positiv}{,} wenn
\mathl{a >0}{} ist, und
\definitionswortenp{negativ}{}\zusatzfussnote {Man beachte, dass hier negativ in einem neuen Sinn auftritt. In jedem Körper $K$ gibt zu jedem Element $x \in K$ das negative Element $-x$, also das Inverse von $x$ bzgl. der Addition. Das Element $-x$ ist aber nicht in einem absoluten Sinn negativ, sondern nur in Bezug auf $x$. Dagegen gibt es in einem angeordneten Körper wirklich negative und positive Elemente} {.} {,} wenn
\mathl{a<0}{} ist. Die $0$ ist demnach weder positiv noch negativ, und jede Zahl ist entweder positiv oder negativ oder null. Die Elemente
\mathbed {a} {mit}
{a \geq 0} {}
{} {} {} {} nennt man dann einfach
\definitionswortenp{nichtnegativ}{} und die Elemente
\mathbed {a} {mit}
{a \leq 0} {}
{} {} {} {}
\definitionswortenp{nichtpositiv}{.} Für die entsprechenden Mengen schreibt man
\mathdisp {K_+,\, K_-,\, K_{\geq 0} =K_+^0,\, K_{\leq 0} = K_-^0} { }
oder Ähnliches. Die wichtigsten Beispiele für angeordnete Körper sind der Körper der rationalen Zahlen $\Q$ und der Körper der reellen Zahlen $\R$.
{Angeordneter Körper/Elementare Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
In einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
gelten die folgenden Eigenschaften.
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ac
}
{ \geq }{bc
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \leq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ac
}
{ \leq }{bc
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{ Siehe Aufgabe 8.1. }
\inputdefinition
{Intervalle}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.}
Zu
\mathbed {a,b \in K} {}
{a \leq b} {}
{} {} {} {,}
nennt man
\auflistungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [a,b]
}
{ = }{ { \left\{ x \in K \mid a \leq x \text{ und } x \leq b \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das \definitionswort {abgeschlossene Intervall}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ]a,b[
}
{ = }{ { \left\{ x \in K \mid a < x \text{ und } x < b \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das \definitionswort {offene Intervall}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ]a,b]
}
{ = }{ { \left\{ x \in K \mid a < x \text{ und } x \leq b \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das \definitionswort {linksseitig offene Intervall}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [a,b[
}
{ = }{ { \left\{ x \in K \mid a \leq x \text{ und } x < b \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das \definitionswort {rechtsseitig offene Intervall}{.}
}
}
Für das offene Intervall wird häufig auch
\mathl{(a,b)}{} geschrieben. Die Zahlen
\mathkor {} {a} {und} {b} {} heißen die \stichwort {Grenzen des Intervalls} {,} genauer spricht man von oberer und unterer Grenze. Die Bezeichnung linksseitig und rechtsseitig bei den beiden letzten Intervallen
\zusatzklammer {die man auch als \stichwort {halboffen} {} bezeichnet} {} {}
rühren von der üblichen Repräsentierung der reellen Zahlen als Zahlengerade her, bei der rechts die positiven Zahlen stehen. Zutreffender
\zusatzklammer {also weniger konventionsverhaftet} {} {}
wäre es von \anfuehrung{größerseitig offen}{} und \anfuehrung{kleinerseitig offen}{} zu sprechen.
\inputbemerkung
{}
{
Ein äquivalenter Zugang zum Begriff des angeordneten Körpers funktioniert so: Man hat einen Körper $K$, bei dem eine Teilmenge
\mathl{P\subseteq K}{}
\zusatzklammer {die \anfuehrung{positive Hälfte}{}} {} {} ausgezeichnet ist mit den folgenden Eigenschaften
\aufzaehlungdrei{Entweder $x \in P$ oder $-x \in P$ oder $x=0$.
}{Aus $x,y \in P$ folgt $x+y \in P$.
}{Aus $x,y \in P$ folgt $x \cdot y \in P$.
} In einem angeordneten Körper erfüllen die positiven Elemente diese Bedingungen. Man kann aber umgekehrt aus einem Körper mit einer solchen positiven Teilmenge einen angeordneten Körper machen, indem man
\mathdisp {x \geq y \text{ durch } x=y \text{ oder } x-y \in P} { }
definiert, siehe Aufgabe 8.16.
}
\zwischenueberschrift{Der Betrag}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Absolute_value.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Absolute value.svg } {} {Ævar Arnfjörð Bjarmason} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputdefinition
{Betrag}
{
In einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
$K$ ist der \definitionswort {Betrag}{} eines Elementes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgendermaßen definiert.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ =} { \begin{cases} x,\, \text{ falls } x \geq 0 \, , \\ -x,\, \text{ falls } x < 0 \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
}
Der Betrag ist also nie negativ und hat nur bei
\mathl{x=0}{} den Wert $0$, sonst ist er immer positiv. Die Gesamtabbildung
\maabbeledisp {} {K} {K
} {x} {\betrag { x }
} {,}
nennt man auch \stichwort {Betragsfunktion} {.} Der Funktionsgraph setzt sich aus zwei Halbgeraden zusammen; eine solche Funktion nennt man auch \stichwort {stückweise linear} {.}
\inputbemerkung
{}
{
Eine Funktion
\mathl{f: \R \rightarrow \R}{} wird manchmal nicht durch einen einzigen \anfuehrung{geschlossenen Ausdruck}{} definiert, sondern durch mehrere verschiedene Ausdrücke, die abhängig vom Argument zum Zuge kommen. Typischerweise wird dabei der Definitionsmenge $\R$
\zusatzklammer {oder eine Teilmenge davon} {} {}
in paarweise disjunkte Teilmengen
\mathbed {M_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
unterteilt, auf denen dann die Funktion $f$ jeweils durch einen bestimmten funktionalen Ausdruck $\varphi_i$ definiert wird. Es ist also
\mathdisp {f(x)= \varphi_i(x), \text{ falls } x \in M_i} { . }
Da die $M_i$ eine disjunkte Vereinigung der Definitionsmenge bilden, ist eine solche Funktion wohldefiniert. Zu jedem $x$ gibt es genau ein $i$ mit
\mathl{x \in M_i}{,} sodass das $\varphi_i$ und damit auch
\mathl{\varphi_i(x)}{} eindeutig bestimmt ist. Man spricht von einer \stichwort {Definition durch Fallunterscheidung} {,} wobei die Fälle eben durch die Bedingung
\mathl{x \in M_i}{} bestimmt sind. $I$ ist also die Indexmenge der Fallunterscheidung.
Häufige Spezialfälle davon sind, dass $\R$ in verschiedene Intervalle zerlegt ist, auf denen unterschiedliche Funktionsvorschriften gelten sollen. Wenn es eine endliche Folge von aufsteigenden Zahlen
\mathl{a_1 < a_2 < a_3 < \ldots < a_n}{} gibt, sodass auf den dadurch begrenzten Intervallen unterschiedliche Definitionen gelten sollen, so wird das häufig in der Form
\mathdisp {f(x)= \begin{cases}
\varphi_0(x) \text{ für } x < a_1 \\
\varphi_1(x) \text{ für } a_1 \leq x < a_2 \\
\varphi_2(x) \text{ für } a_2 \leq x < a_3 \\
\ldots \\
\varphi_{n-1}(x) \text{ für } a_{n-1} \leq x < a_n \\
\varphi_n(x) \text{ für } a_n \leq x
\end{cases}} { }
geschrieben. Dabei können auch andere Abschätzungszeichen vorkommen. Wichtig aber ist, dass die durch die Ungleichungen beschriebene Einteilung eine disjunkte Zerlegung liefert. Manchmal werden unkorrekterweise die Einteilungsbedingungen so gewählt, dass eine Intervallgrenze sowohl zum kleineren als auch zum größeren Intervall dazugenommen wird, was dann akzeptabel ist, wenn die beiden konkurrierenden Funktionswerte übereinstimmen.
Wenn man mit einer durch eine Fallunterscheidung gegebenen Funktion arbeitet, wenn man beispielsweise etwas darüber beweisen möchte, muss man die Fallunterscheidung stets \anfuehrung{mitschleppen}{,} d.h. man muss stets mit der gültigen Funktionsdefinition arbeiten. Wenn nicht klar ist, in welchem Intervall sich ein Argument $x$ befindet, über das man eine Aussage machen möchte, so muss man eben die möglichen Fälle getrennt abarbeiten.
}
{Angeordneter Körper/Betragseigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann erfüllt die
\definitionsverweis {Betragsfunktion}{}{}
\maabbeledisp {} {K} {K
} {x} {\betrag { x }
} {,}
folgende Eigenschaften \zusatzklammer {dabei seien $x,y$ beliebige Elemente in $K$} {} {.} \aufzaehlungacht{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ = }{ \betrag { y }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{-y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { y-x }
}
{ = }{ \betrag { x-y }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { xy }
}
{ = }{ \betrag { x } \betrag { y }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x^{-1} }
}
{ = }{ \betrag { x }^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x+y }
}
{ \leq }{ \betrag { x } + \betrag { y }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {\stichwort {Dreiecksungleichung für den Betrag} {}} {} {.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x+y }
}
{ \geq }{ \betrag { x } - \betrag { y }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 8.17. }
\zwischenueberschrift{Bernoulli'sche Ungleichung}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Bernoulli_inequality.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Bernoulli inequality.svg } {} {Oleg Alexandrov} {Commons} {PD} {}
In der folgenden Aussage verwenden wir für ein Element
\mathl{z \in K}{} in einem Körper und einer natürlichen Zahl
\mathl{n\in \N}{} die Schreibweisen
\mathdisp {nz=\underbrace{z + \cdots + z}_{n\text{-mal} } \text{ und } z^n=\underbrace{z { \cdots } z}_{n\text{-mal} }} { . }
\inputfaktbeweis
{Angeordneter Körper/Bernoulli Ungleichung/Fakt}
{Satz}
{Bernoulli Ungleichung}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
und $n$ eine natürliche Zahl. Dann gilt für jedes
\mathbed {x \in K} {mit}
{x \geq -1} {}
{} {} {} {}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (1+x)^n
}
{ \geq} { 1 +nx
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Wir führen Induktion über $n$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
steht beidseitig $1$, sodass die Aussage gilt. Es sei nun die Aussage für $n$ bereits bewiesen. Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (1+x)^{n+1}
}
{ =} { (1+x)^{n} (1+x)
}
{ \geq} { (1+nx)(1+x)
}
{ =} { 1+(n+1)x + nx^2
}
{ \geq} { 1+(n+1)x
}
}
{}
{}{,}
da Quadrate
\zusatzklammer {und positive Vielfache davon} {} {}
in einem angeordneten Körper nichtnegativ sind.
\zwischenueberschrift{Archimedisch angeordnete Körper}
Wenn man sich wie üblich die reellen Zahlen als Zahlengerade vorstellt, so ist das nächste Axiom selbstverständlich. Es gibt aber auch sehr interessante angeordnete Körper, in denen dieses Axiom nicht gilt; es gilt auch nicht im Rahmen der sogenannten Nichtstandardanalysis. Zur Formulierung dieses Axioms muss man jede natürliche Zahl in einem Körper $K$ interpretieren können. Dies geschieht, indem man einer natürlichen Zahl
\mathl{n \in \N}{} das Körperelement
\mathdisp {n_K= \underbrace{1_K + \cdots + 1_K}_{n\text{-mal} }} { }
zuordnet.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Archimedes_(Idealportrait).jpg} }
\end{center}
\bildtext {Archimedes (ca. 287 -212 v. C.)} }
\bildlizenz { Archimedes (Idealportrait).jpg } {} {Ixitixel} {Commons} {PD} {}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Dann heißt $K$ \definitionswort {archimedisch angeordnet}{,} wenn das folgende \definitionswort {Archimedische Axiom}{} gilt, d.h. wenn es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine natürliche Zahl $n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
Diese Eigenschaft ist für negative Elemente stets erfüllt, für positive Elemente handelt es sich aber um eine echte neue Bedingung, die nicht jeder angeordnete Körper erfüllt.
\inputfaktbeweis
{Angeordneter Körper/Archimedisch/Formulierung mit zwei Elementen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,y
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stets ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{nx
}
{ > }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten
\mathl{y/x}{.} Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es ein $n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{ y/x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da $x$ positiv ist, gilt
nach Lemma 8.2 (6)
auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{nx
}
{ \geq }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Angeordneter Körper/Archimedisch/Stammbrucheigenschaft/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ n } }
}
{ \leq }{ x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es ist $x^{-1}$ eine
nach Fakt ***** (1)
positive Zahl und daher gibt es eine natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{ x^{-1}
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies ist
nach Fakt ***** (4)
äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ n } }
}
{ =} { n^{-1}
}
{ \leq} { { \left( x^{-1} \right) }^{-1}
}
{ =} { x
}
{ } {}
}
{}{}{.}
In der folgenden Aufgabe verwenden wir, dass man zunächst die ganzen Zahlen $\Z$ in einem angeordneten Körper $K$ wiederfindet und dass man dann auch die rationalen Zahlen $\Q$ in $K$ wiederfindet. Die rationale Zahl $n/m$ ist als das Element
\mathl{n_K \cdot (m_K)^{-1}}{} zu interpretieren, siehe auch Aufgabe 8.11.
\inputfaktbeweis
{Archimedisch angeordneter Körper/Rationale Zahlen liegen dazwischen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es zwischen je zwei Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ < }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch eine rationale Zahl
\mathl{n/k}{}
\zusatzklammer {mit $n\in \Z,\, k \in \N_+$} {} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ <} { { \frac{ n }{ k } }
}
{ <} { y
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ > }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y-x
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher gibt es nach
Lemma 8.11
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ k } }
}
{ < }{ y-x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma 8.10
gibt es auch ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n { \frac{ 1 }{ k } }
}
{ >} { x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n'
}
{ \in }{ \Z _-
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n' { \frac{ 1 }{ k } }
}
{ \leq} { x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher gibt es auch ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mathdisp {n { \frac{ 1 }{ k } } > x \text{ und } (n-1){ \frac{ 1 }{ k } } \leq x} { }
ist. Damit ist einerseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ <} { { \frac{ n }{ k } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und andererseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ n }{ k } }
}
{ =} { { \frac{ n-1 }{ k } } + { \frac{ 1 }{ k } }
}
{ <} { x + y-x
}
{ =} { y
}
{ } {}
}
{}{}{}
wie gewünscht.
In einem archimedisch angeordneten Körper bilden die ganzzahligen Intervalle
\mathbed {[n,n+1[} {}
{n \in \Z} {}
{} {} {} {,} eine disjunkte Überdeckung. Deshalb ist die folgende Definition sinnvoll.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Floor_function.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Floor function.svg } {} {Omegatron} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputdefinition
{Gaußklammer}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die \definitionswort {Gaußklammer}{} von $x$ ist durch
\mathdisp {\left \lfloor x \right \rfloor =n, \text{ falls } x \in [n,n+1[ \text{ und } n \in \Z} { , }
definiert.
}
\inputfaktbeweis
{Archimedisch angeordneter Körper/x größer 1/x^n unbeschränkt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{}}
\faktvoraussetzung {und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^n
}
{ \geq} {B
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir schreiben
\mathbed {x=1+u} {mit}
{u>0} {}
{} {} {} {.} Aufgrund von
Lemma 8.10
gibt es eine natürliche Zahl $n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{nu
}
{ \geq }{ B-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit gilt
unter Verwendung der Bernoulli-Ungleichung
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^n
}
{ =} { (1+u)^n
}
{ \geq} { 1+nu
}
{ \geq} { 1+ B-1
}
{ =} { B
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Fußnoten}