Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2013)/Arbeitsblatt 2/latex
\setcounter{section}{2}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere ein Teilerdiagramm \zusatzklammer {also ein Diagramm, in dem die Teilerbeziehung durch Pfeile ausgedrückt wird} {} {} für die Zahlen $25,30,36$ sowie all ihrer positiven Teiler.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{} von $1728$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde die Primfaktorzerlegung der Zahlen
\mathdisp {11,\, 111,\, 1111,\, 11111,\, 111111} { . }
}
{(Vergleiche hierzu auch
Aufgabe 3.21.)} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde die kleinste Zahl $N$ der Form
\mathl{N=p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_r +1}{,} die keine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
ist, wobei
\mathl{p_1, p_2 , \ldots , p_r}{} die ersten $r$ Primzahlen sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
a) Finde $r$ aufeinander folgende natürliche Zahlen
\zusatzklammer {also
\mathl{n, n+1 , \ldots , n+r-1}{}} {} {,}
die alle nicht prim sind.
b) Finde unendlich viele solcher primfreien $r$-\anfuehrung{Intervalle}{.}
}
{} {}
Für die folgende Aufgabe ist
Aufgabe 1.10
hilfreich.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $a$ eine natürliche Zahl und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {\sum_{i = 0}^\ell a_i 10^{i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Darstellung von $a$ im Dezimalsystem. Zeige, dass $a$ von $3$ genau dann geteilt wird, wenn die \stichwort {Quersumme} {} $\sum_{i=0}^\ell a_i$ von $3$ geteilt wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde eine Darstellung der $1$ für die folgenden Zahlenpaare: \mathkor {} {5} {und} {7} {;} \mathkor {} {20} {und} {27} {;} \mathkor {} {23} {und} {157} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $a$ und $b$ \definitionsverweis {natürliche Zahlen}{}{,} deren Produkt $ab$ von einer natürlichen Zahl $n$ geteilt werde. Die Zahlen \mathkor {} {n} {und} {a} {} seien \definitionsverweis {teilerfremd}{}{.} Zeige, dass $b$ von $n$ geteilt wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $r$ und $s$
\definitionsverweis {teilerfremde Zahlen}{}{.}
Zeige, dass jede Lösung
\mathl{(x,y)}{} der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ rx+sy
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Gestalt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (x,y)
}
{ = }{ v(s,-r)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer eindeutig bestimmten Zahl $v$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {a} {und} {d} {}
\definitionsverweis {teilerfremde}{}{}
ganze Zahlen. Zeige, dass es eine Potenz $a^i$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, deren Rest bei Division durch $d$ gleich $1$ ist.
}
{} {Tipp: Verwende
Aufgabe 1.11
und betrachte den Rest von
\mathl{a^j-a^i}{} bei Division durch $d$.}
Die folgende Aufgabe zeigt, dass die eindeutige Primfaktorzerlegung keineswegs selbstverständlich ist.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
diejenige Teilmenge, die aus allen natürlichen Zahlen besteht, die bei Division durch $4$ den Rest $1$ besitzen, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ \{1,5,9,13,17, { \ldots } \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass man $441$ innerhalb von $M$ auf zwei verschiedene Arten in Faktoren zerlegen kann, die in $M$ nicht weiter zerlegbar sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es außer
\mathl{3,5,7}{} kein weiteres Zahlentripel der Form
\mathl{p,p+2,p+4}{} gibt, in dem alle drei Zahlen Primzahlen sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $a$ und $n$ natürliche Zahlen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {\sum_{i = 0}^\ell a_i n^{i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Darstellung von $a$ zur Basis $n$
\zusatzklammer {also mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ 0
}
{ \leq }{ a_i
}
{ < }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
Es sei $k$ ein Teiler von $n-1$. Dann wird $a$ von $k$ genau dann geteilt, wenn die \stichwort {Quersumme} {} $\sum_{i=0}^\ell a_i$ von $k$ geteilt wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte im $15$er System mit den Ziffern $0,1 , \ldots , 8,9,A,B,C,D,E$ die Zahl
\mathdisp {EA09B4CA} { . }
Ist diese Zahl durch $7$ teilbar?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Alle Flöhe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohmännchen springt bei jedem Sprung $78$ cm und die deutlich kräftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung
\mathl{126}{} cm. Die Flohmännchen Florian, Flöhchen und Carlo sitzen in den Positionen
\mathl{-123, 55}{} und $-49$. Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position $17$ bzw.
\mathl{109}{.} Welche Flöhe können sich treffen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten eine digitale Uhr, die $24$ Stunden, $60$ Minuten und $60$ Sekunden anzeigt. Zur Karnevalszeit läuft sie aber nicht in Sekundenschritten, sondern addiert, ausgehend von der Nullstellung, in jedem Zählschritt immer $11$ Stunden, $11$ Minuten und $11$ Sekunden dazu. Wird bei dieser Zählweise jede mögliche digitale Anzeige erreicht? Nach wie vielen Schritten kehrt zum ersten Mal die Nullstellung zurück?
}
{} {}
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