Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2014)/Arbeitsblatt 1

Übungsaufgaben^[1]

Beweise durch Induktion die folgenden Formeln.

${}\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\,,$
${}\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\,.$
${}\sum _{i=1}^{n}i^{3}={\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)}^{2}\,.$

Aufgabe *

Beweise durch Induktion, dass die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen (beginnend bei ${}1$ ) stets eine Quadratzahl ist.

(Man denke auch an die verschiedenen Möglichkeiten, ein quadratisches Gitter abzuzählen).

Aufgabe *

Zeige mittels vollständiger Induktion für ${}n\geq 1$ die Formel

{}\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}k={\begin{cases}{\frac {n}{2}}{\text{ bei }}n{\text{ gerade}},\\-{\frac {n+1}{2}}{\text{ bei }}n{\text{ ungerade}}\,.\end{cases}}\,

Aufgabe *

Beweise durch Induktion für alle ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die Formel

{}\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}k^{2}=(-1)^{n+1}{\frac {n(n+1)}{2}}\,.

Die Städte ${}S_{1},\ldots ,S_{n}$ seien untereinander durch Straßen verbunden und zwischen zwei Städten gibt es immer genau eine Straße. Wegen Bauarbeiten sind zur Zeit alle Straßen nur in eine Richtung befahrbar. Zeige, dass es trotzdem mindestens eine Stadt gibt, von der aus alle anderen Städte erreichbar sind.

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=2xe^{3x}.

Zeige durch Induktion, dass die ${}n$ -te Ableitung ( $n\geq 1$ ) von ${}f$ gleich

{}f^{(n)}(x)={\left(3^{n}\cdot 2x+3^{n-1}\cdot 2n\right)}e^{3x}\,

ist.

Aufgabe

Es sei ${}m\in \mathbb {N}$ . Zeige durch Induktion die Gleichheit

{}(2m+1)\prod _{i=1}^{m}(2i-1)^{2}=\prod _{k=1}^{m}(4k^{2}-1)\,.

Aufgabe

Eine ${}n$ -Schokolade ist ein rechteckiges Raster, das durch ${}a-1$ Längsrillen und ${}b-1$ Querrillen in ${}n=a\cdot b$ ( ${}a,b\in \mathbb {N} _{+}$ ) mundgerechte kleinere Rechtecke eingeteilt ist. Ein Teilungsschritt an einer Schokolade ist das vollständige Durchtrennen einer Schokolade längs einer Längs- oder Querrille. Eine vollständige Aufteilung einer Schokolade ist eine Folge von Teilungsschritten (an der Ausgangsschokolade oder an einer zuvor erhaltenen Zwischenschokolade), deren Endprodukt aus den einzelnen Mundgerechtecken besteht. Zeige durch Induktion, dass jede vollständige Aufteilung einer ${}n$ -Schokolade aus genau ${}n-1$ Teilungsschritten besteht.

Aufgabe *

Die offizielle Berechtigung für die Klausurteilnahme werde durch mindestens ${}200$ Punkte im Übungsbetrieb erworben. Professor Knopfloch sagt, dass es aber auf einen Punkt mehr oder weniger nicht ankomme. Zeige durch eine geeignete Induktion, dass man mit jeder Punkteanzahl zur Klausur zugelassen wird.

Aufgabe *

Zeige, dass für jede ungerade Zahl ${}n$ die Zahl ${}25n^{2}-17$ ein Vielfaches von ${}8$ ist.

Aufgabe

Welche Teilerbeziehung besteht zwischen ${}0$ und einer beliebigen ganzen Zahl ${}n$ und welche Teilerbeziehung besteht zwischen ${}1$ und einer beliebigen ganzen Zahl ${}n$ ?

Aufgabe

Es seien ${}q,d,s\in \mathbb {N}$ mit ${}d\geq 1$ und ${}n=qd+s$ . Zeige, dass der Rest von ${}n$ bei Division durch ${}d$ gleich dem Rest von ${}s$ bei Division durch ${}d$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}d$ eine positive natürliche Zahl. Es seien ${}a,b$ natürliche Zahlen und es seien ${}r$ bzw. ${}s$ die Reste von ${}a$ bzw. ${}b$ bei Division durch ${}d$ . Zeige, dass der Rest von ${}a+b$ bei Division durch ${}d$ gleich dem Rest von ${}r+s$ bei Division durch ${}d$ ist. Formuliere und beweise die entsprechende Aussage für die Multiplikation.

Bei der folgenden Aufgabe denke man etwa an ${}a=10$ .

Aufgabe

Es seien ${}a,d\in \mathbb {N}$ , ${}d\geq 1$ . Zeige, dass bei Division mit Rest durch ${}d$ aller Potenzen von ${}a$ (also $a^{0},a^{1},a^{2},\ldots$ ) schließlich eine Periodizität eintreten muss. Es gibt also ${}i<j$ derart, dass sich die Reste von ${}a^{i},a^{i+1},a^{i+2},\ldots ,a^{j-2},a^{j-1}$ bei den folgenden Potenzen periodisch (oder „zyklisch“) wiederholen (insbesondere besitzen also ${}a^{i}$ und ${}a^{j}$ den gleichen Rest). Zeige ebenfalls, dass diese Periodizität nicht bei ${}a^{0}=1$ anfangen muss.