Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2014)/Arbeitsblatt 2

Übungsaufgaben

Aufgabe

Skizziere ein Teilerdiagramm (also ein Diagramm, in dem die Teilerbeziehung durch Pfeile ausgedrückt wird) für die Zahlen ${}25,30,36$ sowie all ihrer positiven Teiler.

Aufgabe

Zeige, dass eine natürliche Zahl ${}n$ genau dann gerade ist, wenn ihre letzte Ziffer im Dezimalsystem gleich ${}0,2,4,6$ oder ${}8$ ist.

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 1.14 hilfreich.

Aufgabe

Es sei ${}a$ eine natürliche Zahl und es sei

${}a=\sum _{i=0}^{\ell }a_{i}10^{i}\,$

die Darstellung von ${}a$ im Dezimalsystem. Zeige, dass ${}a$ von ${}3$ genau dann geteilt wird, wenn die Quersumme ${}\sum _{i=0}^{\ell }a_{i}$ von ${}3$ geteilt wird.

Eine Verallgemeinerung dieses Quersummentests wird in der nächsten Aufgabe besprochen.

Aufgabe

Es seien ${}a$ und ${}n$ natürliche Zahlen mit ${}n\geq 2$. Es sei

${}a=\sum _{i=0}^{\ell }a_{i}n^{i}\,$

die Darstellung von ${}a$ zur Basis ${}n$ (also mit ${}0\leq a_{i}<n$). Es sei ${}k$ ein Teiler von ${}n-1$. Dann wird ${}a$ von ${}k$ genau dann geteilt, wenn die Quersumme ${}\sum _{i=0}^{\ell }a_{i}$ von ${}k$ geteilt wird.

Aufgabe

Betrachte im ${}15$er System mit den Ziffern ${}0,1,\ldots ,8,9,A,B,C,D,E$ die Zahl

$EA09B4CA.$

Ist diese Zahl durch ${}7$ teilbar?

Aufgabe *

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}1728$.

Aufgabe

Finde die Primfaktorzerlegung der Zahlen

$11,\,111,\,1111,\,11111,\,111111.$

(Vergleiche hierzu auch Aufgabe 3.20.)

Aufgabe

Finde die kleinste Zahl ${}N$ der Form ${}N=p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{r}+1$, die keine Primzahl ist, wobei ${}p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}$ die ersten ${}r$ Primzahlen sind.

Aufgabe

Es sei ${}r\in \mathbb {N}$.

a) Finde ${}r$ aufeinander folgende natürliche Zahlen (also ${}n,n+1,\ldots ,n+r-1$), die alle nicht prim sind.

b) Finde unendlich viele solcher primfreien ${}r$-„Intervalle“.

Aufgabe

Finde eine Darstellung der ${}1$  (im Sinne des Lemmas von Bezout) für die folgenden Zahlenpaare: ${}5$ und ${}7$; ${}20$ und ${}27$; ${}23$ und ${}157$.

Aufgabe

Es seien ${}a$ und ${}b$ natürliche Zahlen, deren Produkt ${}ab$ von einer natürlichen Zahl ${}n$ geteilt werde. Die Zahlen ${}n$ und ${}a$ seien teilerfremd. Zeige, dass ${}b$ von ${}n$ geteilt wird.

Aufgabe

Es seien ${}r$ und ${}s$ teilerfremde Zahlen. Zeige, dass jede Lösung ${}(x,y)$ der Gleichung

${}rx+sy=0\,$

die Gestalt ${}(x,y)=v(s,-r)$ mit einer eindeutig bestimmten Zahl ${}v$ besitzt.

Aufgabe

Es seien ${}a$ und ${}d$ teilerfremde ganze Zahlen. Zeige, dass es eine Potenz ${}a^{i}$ mit ${}i\geq 1$ gibt, deren Rest bei Division durch ${}d$ gleich ${}1$ ist.

Tipp: Verwende Aufgabe 1.15 und betrachte den Rest von ${}a^{j}-a^{i}$ bei Division durch ${}d$. Schließe dann mit Aufgabe 2.11.

Die folgende Aufgabe zeigt, dass die eindeutige Primfaktorzerlegung keineswegs selbstverständlich ist.

Aufgabe

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N} _{+}$ diejenige Teilmenge, die aus allen natürlichen Zahlen besteht, die bei Division durch ${}4$ den Rest ${}1$ besitzen, also ${}M=\{1,5,9,13,17,{\ldots }\}$. Zeige, dass man ${}441$ innerhalb von ${}M$ auf zwei verschiedene Arten in Faktoren zerlegen kann, die in ${}M$ nicht weiter zerlegbar sind.

Aufgabe

Zeige, dass es außer ${}3,5,7$ kein weiteres Zahlentripel der Form ${}p,p+2,p+4$ gibt, in dem alle drei Zahlen Primzahlen sind.

Aufgabe

Alle Flöhe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohmännchen springt bei jedem Sprung ${}78$ cm und die deutlich kräftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung ${}126$ cm. Die Flohmännchen Florian, Flöhchen und Carlo sitzen in den Positionen ${}-123,55$ und ${}-49$. Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position ${}17$ bzw. ${}109$. Welche Flöhe können sich treffen?

Aufgabe

Wir betrachten eine digitale Uhr, die ${}24$ Stunden, ${}60$ Minuten und ${}60$ Sekunden anzeigt. Zur Karnevalszeit läuft sie aber nicht in Sekundenschritten, sondern addiert, ausgehend von der Nullstellung, in jedem Zählschritt immer ${}11$ Stunden, ${}11$ Minuten und ${}11$ Sekunden dazu. Wird bei dieser Zählweise jede mögliche digitale Anzeige erreicht? Nach wie vielen Schritten kehrt zum ersten Mal die Nullstellung zurück?

Die nächste Aufgabe bezieht sich auf Bemerkung 2.10.

Aufgabe

Zeige, dass es eine gerade Zahl ${}g$, ${}2\leq g\leq 252$, mit der Eigenschaft gibt, dass es unendlich viele Primzahlen ${}p$ derart gibt, dass auch ${}p+g$ eine Primzahl ist.