Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2013)/Arbeitsblatt 2

Übungsaufgaben

Aufgabe

Skizziere ein Teilerdiagramm (also ein Diagramm, in dem die Teilerbeziehung durch Pfeile ausgedrückt wird) für die Zahlen ${}25,30,36$ sowie all ihrer positiven Teiler.

Aufgabe *

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}1728$.

Aufgabe

Finde die Primfaktorzerlegung der Zahlen

$11,\,111,\,1111,\,11111,\,111111.$

(Vergleiche hierzu auch Aufgabe 3.21.)

Aufgabe

Finde die kleinste Zahl ${}N$ der Form ${}N=p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{r}+1$, die keine Primzahl ist, wobei ${}p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}$ die ersten ${}r$ Primzahlen sind.

Aufgabe

Es sei ${}r\in \mathbb {N}$.

a) Finde ${}r$ aufeinander folgende natürliche Zahlen (also ${}n,n+1,\ldots ,n+r-1$), die alle nicht prim sind.

b) Finde unendlich viele solcher primfreien ${}r$-„Intervalle“.

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 1.10 hilfreich.

Aufgabe

Es sei ${}a$ eine natürliche Zahl und es sei

${}a=\sum _{i=0}^{\ell }a_{i}10^{i}\,$

die Darstellung von ${}a$ im Dezimalsystem. Zeige, dass ${}a$ von ${}3$ genau dann geteilt wird, wenn die Quersumme ${}\sum _{i=0}^{\ell }a_{i}$ von ${}3$ geteilt wird.

Aufgabe

Finde eine Darstellung der ${}1$ für die folgenden Zahlenpaare: ${}5$ und ${}7$; ${}20$ und ${}27$; ${}23$ und ${}157$.

Aufgabe

Es seien ${}a$ und ${}b$ natürliche Zahlen, deren Produkt ${}ab$ von einer natürlichen Zahl ${}n$ geteilt werde. Die Zahlen ${}n$ und ${}a$ seien teilerfremd. Zeige, dass ${}b$ von ${}n$ geteilt wird.

Aufgabe

Es seien ${}r$ und ${}s$ teilerfremde Zahlen. Zeige, dass jede Lösung ${}(x,y)$ der Gleichung

${}rx+sy=0\,$

die Gestalt ${}(x,y)=v(s,-r)$ mit einer eindeutig bestimmten Zahl ${}v$ besitzt.

Aufgabe

Es seien ${}a$ und ${}d$ teilerfremde ganze Zahlen. Zeige, dass es eine Potenz ${}a^{i}$ mit ${}i\geq 1$ gibt, deren Rest bei Division durch ${}d$ gleich ${}1$ ist.

Tipp: Verwende Aufgabe 1.11 und betrachte den Rest von ${}a^{j}-a^{i}$ bei Division durch ${}d$.

Die folgende Aufgabe zeigt, dass die eindeutige Primfaktorzerlegung keineswegs selbstverständlich ist.

Aufgabe

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N} _{+}$ diejenige Teilmenge, die aus allen natürlichen Zahlen besteht, die bei Division durch ${}4$ den Rest ${}1$ besitzen, also ${}M=\{1,5,9,13,17,{\ldots }\}$. Zeige, dass man ${}441$ innerhalb von ${}M$ auf zwei verschiedene Arten in Faktoren zerlegen kann, die in ${}M$ nicht weiter zerlegbar sind.

Aufgabe

Zeige, dass es außer ${}3,5,7$ kein weiteres Zahlentripel der Form ${}p,p+2,p+4$ gibt, in dem alle drei Zahlen Primzahlen sind.

Aufgabe

Es seien ${}a$ und ${}n$ natürliche Zahlen mit ${}n\geq 2$. Es sei

${}a=\sum _{i=0}^{\ell }a_{i}n^{i}\,$

die Darstellung von ${}a$ zur Basis ${}n$ (also mit ${}0\leq a_{i}<n$). Es sei ${}k$ ein Teiler von ${}n-1$. Dann wird ${}a$ von ${}k$ genau dann geteilt, wenn die Quersumme ${}\sum _{i=0}^{\ell }a_{i}$ von ${}k$ geteilt wird.

Aufgabe

Betrachte im ${}15$er System mit den Ziffern ${}0,1,\ldots ,8,9,A,B,C,D,E$ die Zahl

$EA09B4CA.$

Ist diese Zahl durch ${}7$ teilbar?

Aufgabe

Alle Flöhe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohmännchen springt bei jedem Sprung ${}78$ cm und die deutlich kräftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung ${}126$ cm. Die Flohmännchen Florian, Flöhchen und Carlo sitzen in den Positionen ${}-123,55$ und ${}-49$. Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position ${}17$ bzw. ${}109$. Welche Flöhe können sich treffen?

Aufgabe

Wir betrachten eine digitale Uhr, die ${}24$ Stunden, ${}60$ Minuten und ${}60$ Sekunden anzeigt. Zur Karnevalszeit läuft sie aber nicht in Sekundenschritten, sondern addiert, ausgehend von der Nullstellung, in jedem Zählschritt immer ${}11$ Stunden, ${}11$ Minuten und ${}11$ Sekunden dazu. Wird bei dieser Zählweise jede mögliche digitale Anzeige erreicht? Nach wie vielen Schritten kehrt zum ersten Mal die Nullstellung zurück?