Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2013)/Arbeitsblatt 4

Übungsaufgaben

Die beiden ersten Aufgaben sollen dazu anregen, über die Güte von Dezimalbruchentwicklungen zu diskutieren.

Aufgabe

Stimmen die beiden reellen Zahlen

${\frac {\pi {\sqrt {163}}}{3}}\,\,{\text{ und }}\,\,\ln 640320$

überein?

Aufgabe

Stimmen die beiden reellen Zahlen

${\sqrt {5}}+{\sqrt {22+2{\sqrt {5}}}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\sqrt {11+2{\sqrt {29}}}}+{\sqrt {16-2{\sqrt {29}}+2{\sqrt {55-10{\sqrt {29}}}}}}$

überein?

Aufgabe

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}5$ zum Startwert ${}x_{0}=2$.

Aufgabe *

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu ${}b=7$ mit dem Startwert ${}x_{0}=3$ durch (es sollen also die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3}$ für ${}{\sqrt {7}}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).

Aufgabe

Es sei ${}a$ eine reelle Zahl. Zeige, dass die Gleichung ${}x^{2}=a$ höchstens zwei Lösungen in ${}\mathbb {R}$ besitzt.

Aufgabe *

Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung

${}ax^{2}+bx+c=0\,$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$, ${}a\neq 0$.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge. Zeige, dass die Folge genau dann gegen ${}x$ konvergiert, wenn es für jedes ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {1}{k}}$ gilt.

Aufgabe

Untersuche die durch

${}x_{n}={\frac {1}{n^{2}}}\,$

gegebene Folge (${}n\geq 1$) auf Konvergenz.

Aufgabe

Untersuche die durch

${}x_{n}={\frac {1}{10^{n}}}\,$

gegebene Folge auf Konvergenz.

Aufgabe *

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ zwei konvergente reelle Folgen mit ${}x_{n}\geq y_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass dann ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\geq \lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$ gilt.

Die folgende Aussage nennt man auch das Quetschkriterium für Folgen.

Aufgabe *

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei reelle Folgen. Es gelte ${}x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$ und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert ${}a$. Zeige, dass dann auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}a$ konvergiert.

Für die folgende Aufgabe können Sie bekannte Eigenschaften der Sinusfunktion verwenden.

Aufgabe *

Bestimme den Grenzwert der Folge

${\frac {\sin n}{n}},\,n\in \mathbb {N} _{+}.$

Aufgabe

Beweise die Aussagen (1), (3) und (5) von Lemma 4.7.

Aufgabe

Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Folge ${}{\left({\frac {1}{n^{k}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge reeller Zahlen mit Grenzwert ${}x$. Zeige, dass dann auch die Folge

${\left(\vert {x_{n}}\vert \right)}_{n\in \mathbb {N} }$

konvergiert, und zwar gegen ${}\vert {x}\vert$.

In den beiden folgenden Aufgaben geht es um die Folge der Fibonacci-Zahlen.

Die Folge der Fibonacci-Zahlen ${}f_{n}$ ist rekursiv definiert durch

$f_{1}:=1\,,f_{2}:=1{\text{ und }}f_{n+2}:=f_{n+1}+f_{n}.$

Aufgabe *

Beweise durch Induktion die Simpson-Formel oder Simpson-Identität für die Fibonacci-Zahlen ${}f_{n}$. Sie besagt (für $n\geq 2$)

${}f_{n+1}f_{n-1}-f_{n}^{2}=(-1)^{n}\,.$

Aufgabe

Beweise durch Induktion die Binet-Formel für die Fibonacci-Zahlen. Diese besagt, dass

${}f_{n}={\frac {{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)}^{n}-{\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)}^{n}}{\sqrt {5}}}\,$

gilt (${}n\geq 1$).

Aufgabe

Untersuche die durch

$x_{n}={\frac {1}{\sqrt {n}}}$

gegebene Folge (${}n\geq 1$) auf Konvergenz.

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der durch

${}x_{n}={\frac {7n^{3}-3n^{2}+2n-11}{13n^{3}-5n+4}}\,$

definierten Folge.

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 1.5 hilfreich.

Aufgabe

Zeige, dass die reelle Folge

${\left({\frac {n}{2^{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der durch

$x_{n}={\frac {2n+5{\sqrt {n}}+7}{-5n+3{\sqrt {n}}-4}}$

definierten reellen Folge.

Aufgabe

Man gebe Beispiele für konvergente reelle Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit ${}x_{n}\neq 0$, ${}n\in \mathbb {N}$, und mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=0$ derart, dass die Folge

${\left({\frac {y_{n}}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

1. gegen ${}0$ konvergiert,
2. gegen ${}1$ konvergiert,
3. divergiert.