Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2013)/Arbeitsblatt 5

Übungsaufgaben

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Cauchy-Folge in ${}\mathbb {Q}$, die (in ${}\mathbb {Q}$) nicht konvergiert.

Aufgabe *

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine monoton wachsende reelle Folge, die nach oben beschränkt ist. Es gelte also ${}x_{m}\leq x_{n}$ für ${}m\leq n$ und ${}x_{n}\leq b$ für alle ${}n$ und eine gewisse reelle Zahl ${}b$. Zeige, dass ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist.

Aufgabe

Es sei ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ eine nichtnegative reelle Zahl und ${}x_{0}\in \mathbb {R} _{+}$. Zeige, dass die rekursiv definierte Folge mit

${}x_{n+1}:={\frac {x_{n}+a/x_{n}}{2}}\,$

gegen ${}{\sqrt {a}}$ konvergiert.

Aufgabe *

Es sei ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass der Durchschnitt

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$

aus genau einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ besteht.

Aufgabe

Es sei ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$ und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge mit ${}x_{n}\in I_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass diese Folge gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl konvergiert.

Aufgabe *

Es sei ${}x$ eine reelle Zahl, von welcher der Beginn der kanonischen Dezimalbruchentwicklung gleich

$0{,}3333333333\dotso$

(die weiteren Ziffern sind nicht bekannt). Was kann man über die Dezimalbruchentwicklung von ${}3x$ sagen? In welchem (möglichst kleinen) Intervall liegt ${}3x$?

Aufgabe

Zeige, dass für eine rationale Zahl ${}x={\frac {a}{b}}\in [0,1[$ das Rekursionsschema aus Satz 5.7 die Eigenschaft besitzt, dass ${}s_{i}={\frac {r_{i}}{b}}$ ein Bruch mit ${}b$ als Nenner ist und dass die Beziehung

${}a10^{i}=bq_{i}+r_{i}\,$

mit

${}q_{i}=\sum _{j=1}^{i}z_{j}10^{i-j}\,$

gilt.

Aufgabe

Bestimme die Dezimalentwicklung von ${}{\frac {5}{7}}$ anhand des in Satz 5.7 besprochenen Rekursionsschemas.

Aufgabe

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

$0,11{\overline {05}}$

gegeben ist.

Aufgabe

Bestimme die Ziffernentwicklung im Dualsystem derjenigen reellen Zahl, die im Dezimalsystem durch ${}0{,}{\overline {3}}$ gegeben ist.

Aufgabe

Bestimme die Ziffernentwicklung im Dreiersystem derjenigen reellen Zahl, die im Dezimalsystem durch ${}0{,}{\overline {17}}$ gegeben ist.

Aufgabe

Die beiden reellen Zahlen ${}x$ und ${}y$ seien durch ihre Dezimalbruchentwicklung

$x=0,z_{1}z_{2}z_{3}\ldots$

und

$y=0,u_{1}u_{2}u_{3}\ldots$

gegeben. Man gebe unter Bezug auf diese Ziffernentwicklungen eine Folge mit rationalen Gliedern an, die gegen ${}xy$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Folge der Fibonacci-Zahlen und

${}x_{n}={\frac {f_{n}}{f_{n-1}}}\,.$

Zeige, dass diese Folge in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und dass der Grenzwert ${}x$ die Bedingung

${}x=1+x^{-1}\,$

erfüllt. Berechne daraus ${}x$.

Tipp: Zeige zuerst mit Hilfe der Simpson-Formel, dass man mit diesen Brüchen eine Intervallschachtelung basteln kann.

Aufgabe

Es seien ${}b>a>0$ positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ durch ${}x_{0}=a$, ${}y_{0}=b$ und durch

$x_{n+1}={\text{ geometrisches Mittel von }}x_{n}{\text{ und }}y_{n},$

$y_{n+1}={\text{ arithmetisches Mittel von }}x_{n}{\text{ und }}y_{n}.$

Zeige, dass ${}[x_{n},y_{n}]$ eine Intervallschachtelung ist.