Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2014)/Arbeitsblatt 4
- Übungsaufgaben
Die beiden ersten Aufgaben sollen dazu anregen, über die Güte von Dezimalbruchentwicklungen zu diskutieren.
Aufgabe
Stimmen die beiden reellen Zahlen
überein?
Aufgabe
Stimmen die beiden reellen Zahlen
überein?
Aufgabe
Es sei eine rationale Zahl in gekürzter Darstellung. Zeige, dass die Dezimaldarstellung von genau dann abbricht, wenn in der Primfaktorzerlegung des Nenners nur die Primzahlen und vorkommen.
Aufgabe
Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert .
Aufgabe *
Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu mit dem Startwert durch (es sollen also die Approximationen für berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).
Aufgabe
Es sei eine reelle Zahl. Zeige, dass die Gleichung höchstens zwei Lösungen in besitzt.
Aufgabe *
Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung
mit , .
Aufgabe
Es sei eine reelle Folge. Zeige, dass die Folge genau dann gegen konvergiert, wenn es für jedes ein derart gibt, dass für alle die Abschätzung gilt.
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe *
Es seien und zwei konvergente reelle Folgen mit für alle . Zeige, dass dann gilt.
Die folgende Aussage nennt man auch das Quetschkriterium für Folgen.
Aufgabe *
Es seien und drei reelle Folgen. Es gelte und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Zeige, dass dann auch gegen konvergiert.
Für die folgende Aufgabe können Sie bekannte Eigenschaften der Sinusfunktion verwenden.
Aufgabe *
Bestimme den Grenzwert der Folge
Aufgabe
Beweise die Aussagen (1), (3) und (5) von Lemma 4.7.
Aufgabe
Aufgabe
Es sei eine konvergente Folge reeller Zahlen mit Grenzwert . Zeige, dass dann auch die Folge
konvergiert, und zwar gegen .
In den beiden folgenden Aufgaben geht es um die Folge der Fibonacci-Zahlen.
Die Folge der Fibonacci-Zahlen ist rekursiv definiert durch
Aufgabe *
Beweise durch Induktion die Simpson-Formel oder Simpson-Identität für die Fibonacci-Zahlen . Sie besagt (für )
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Für die folgende Aufgabe ist
Aufgabe 1.5
hilfreich.
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Man gebe Beispiele für konvergente reelle Folgen und mit , , und mit derart, dass die Folge
- gegen konvergiert,
- gegen konvergiert,
- divergiert.
Die nächste Aufgabe knüpft an
Aufgabe 3.23
an.
Aufgabe
Zwei Personen und spielen Polynome-Erraten. Dabei denkt sich ein Polynom aus, wobei alle Koeffizienten aus sein müssen. Person darf fragen, was der Wert zu gewissen natürlichen Zahlen ist, vergleiche Aufgabe 3.23. Zeige, dass die Abfrage der Werte zu fixierten Zahlen (also unabhängig von vorhergehenden Teilantworten) im Allgemeinen keine erfolgreiche Strategie ist.
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