Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 13

Wiederholungsaufgaben

Aufgabe

Überprüfe die Folge ${}x_{n}={\sqrt[{n}]{2^{n}+3^{n}}}$ auf Konvergenz.

Aufgabe

Die Folge ${}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ sei rekursiv gegeben durch

x_{0}:=x,x_{1}:=y,x_{n}:={\frac {1}{2}}(x_{n-1}+x_{n-2}){\mbox{ für }}n\geq 2,

wobei ${}x,y\in \mathbb {R}$ . Zeige, dass ${}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert und berechne den Grenzwert.

Aufgabe

Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe ${}\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)z^{n}\,.$

Aufgabe

Untersuche die Funktion ${}g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto \vert {(x+1)^{3}(x-1)}\vert$ auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Bestimme (falls möglich) die Ableitung.

Aufgabe

Es sei die lineare Abbildung ${}f\colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{4}$ durch ${}f(x,y,z)=(x+2z,y-z,x+y,2x+3z)$ definiert.

Bestimme die zu ${}f$ korrespondierende Matrix ${}A$ . Ist ${}f$ injektiv?
Es sei ${}{\mathcal {B}}=\{v_{1},v_{2},v_{3}\}$ eine Basis des ${}\mathbb {R} ^{3}$ gegeben durch
$v_{1}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},\,v_{3}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

und sei ${}{\mathcal {B}}'=\{w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}\}$ eine Basis des ${}\mathbb {R} ^{4}$ gegeben durch

$w_{1}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}},\,w_{2}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}}\,,w_{3}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}},\,w_{4}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.$

Berechne ${}A_{{\mathcal {B}}'}^{\mathcal {B}}(f)$ .

Betrachte die Matrix ${}A={\begin{pmatrix}-5&2&-2\\-4&1&0\\4&-4&5\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}({\mathbb {K} })$ . Untersuche ob ${}A$ diagonalisierbar ist in Abhängigkeit von ${}{\mathbb {K} }$ (d.h., ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ oder ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ ). Falls ja, so gebe eine invertierbare Matrix ${}C$ und eine Diagonalmatrix ${}D$ mit ${}D=C^{-1}AC$ an.

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