Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 2

Anwesenheitsaufgaben

Aufgabe

Finde eine allgemeine Formel für die folgenden beiden Summen in Abhängigkeit von ${}n\in \mathbb {N}$.

1. ${}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}$.
2. ${}\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}k^{2}$.

Gehe dabei wie folgt vor: Berechne die Summe für einige ${}n$, leite daraus eine Vermutung für die allgemeine Formel her, und beweise diese dann mit vollständiger Induktion.

Aufgabe

Es sei ${}m\in \mathbb {N}$. Zeige durch Induktion die Gleichheit

${}(2m+1)\prod _{i=1}^{m}(2i-1)^{2}=\prod _{k=1}^{m}(4k^{2}-1)\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ und seien

$f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei ${}n$-mal differenzierbare Funktionen. Zeige, dass

${}(f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n-k)}\,$

gilt.

Aufgabe

Zeige, dass eine nichtleere endliche Menge ${}M$ gleich viele Teilmengen mit gerader und mit ungerader Anzahl besitzt. Beweise diese Aussage unter Verwendung von Binomialkoeffizienten.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ eine Funktion mit der Eigenschaft, dass ${}f(f(n))<f(n+1)$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ gilt. Zeige, dass ${}f$ die Identität ist.

Hinweis: Zeige zuerst durch Induktion, dass ${}f(k)\geq n$ für alle ${}k\geq n$ gilt. Zeige danach, dass ${}f$ streng monoton wachsend ist.

Aufgabe

Zeige, dass es genau ${}n!$ bijektive Selbstabbildungen der Menge ${}\{1,\ldots ,n\}$ gibt.

Hausaufgaben (Korrektur nur für Leute ohne Klausurberechtigung)

Aufgabe (4 Punkte)

Die Städte ${}S_{1},\ldots ,S_{n}$ seien untereinander durch Straßen verbunden und zwischen zwei Städten gibt es immer genau eine Straße. Wegen Bauarbeiten sind zur Zeit alle Straßen nur in eine Richtung befahrbar. Zeige, dass es trotzdem mindestens eine Stadt gibt, von der aus alle anderen Städte erreichbar sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass es zu einer natürlichen Zahl ${}m$ rationale Zahlen ${}a_{0},\ldots ,a_{m}$ derart gibt, dass

${}\sum _{k=1}^{n}k^{m}={\frac {1}{m+1}}n^{m+1}+a_{m}n^{m}+\cdots +a_{1}n+a_{0}\,$

für alle ${}n\in \mathbb {N}$ gilt.

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