Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 10/latex




\inputaufgabe
{2}
{

Es seien $x$ und $y$ ungerade. Zeige, dass
\mathl{x^2+y ^2}{} keine Quadratzahl ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{1}
{

Zeige, dass die quadratische Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2-5y^2 }
{ =} { 2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} keine ganzzahlige Lösung besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Zeige: In
\mathl{\Z/(p)}{,} wobei $p$ eine Primzahl ist, lässt sich jedes Element als Summe von zwei Quadraten schreiben.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme in
\mathl{\Z/(11)}{} alle Lösungen
\mathl{(x,y)}{} der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2 }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme in
\mathl{\Z/(7)}{} alle Lösungen
\mathl{(x,y)}{} der diophantischen quadratischen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3x^2+2y^2+5xy+4x+8y+6 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Wie viele Lösungen hat die Gleichung
\mathdisp {x^5=a} { }
in
\mathl{\Z/(19)}{} für ein gegebenes
\mathl{a \in \Z/(19)}{?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Skizziere ein Dreieck $D$ derart, dass eine Höhe das Dreieck $D$ in zwei verschiedene rechtwinklige Dreiecke $D_1$ und $D_2$ unterteilt so, dass die Seitenlängen von $D_1$ und $D_2$ jeweils pythagoreische Tripel bilden. Man gebe die Seitenlängen an.

}
{} {}




\inputaufgabe
{bis 2}
{

Ergänze die Tabelle

Pythagoreische Tripel/Parametrische Charakterisierung/z bis 100/Tabelle

um alle pythagoreischen Tripel
\mathl{(x,y,z)}{} mit
\mathl{z \leq 100}{.} Dabei sollen $u$ und $v$ \definitionsverweis {teilerfremd}{}{} sein und nicht beide ungerade. Die Tabelle soll nach der Größe von $z$ geordnet sein.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Zeige: Um den Satz von Wiles für alle Exponenten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zu zeigen, genügt es, ihn für alle ungeraden Primzahlen als Exponenten zu beweisen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Zeige unter Verwendung des Satzes von Wiles, dass die diophantische Gleichung
\mathdisp {x^n+y^n+z^n =0} { }
für
\mathl{n \geq 2}{} keine von
\mathl{(0,0,0)}{} verschiedene Lösung besitzt.

}
{} {}