Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 10

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}x$ und ${}y$ ungerade. Zeige, dass ${}x^{2}+y^{2}$ keine Quadratzahl ist.

Aufgabe (1 Punkt)

Zeige, dass die quadratische Gleichung

${}x^{2}-5y^{2}=2\,$

keine ganzzahlige Lösung besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige: In ${}\mathbb {Z} /(p)$, wobei ${}p$ eine Primzahl ist, lässt sich jedes Element als Summe von zwei Quadraten schreiben.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z} /(11)$ alle Lösungen ${}(x,y)$ der Gleichung

${}x^{2}+y^{2}=1\,.$

Aufgabe (4p Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z} /(7)$ alle Lösungen ${}(x,y)$ der diophantischen quadratischen Gleichung

${}3x^{2}+2y^{2}+5xy+4x+8y+6=0\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Wie viele Lösungen hat die Gleichung

$x^{5}=a$

in ${}\mathbb {Z} /(19)$ für ein gegebenes ${}a\in \mathbb {Z} /(19)$?

Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere ein Dreieck ${}D$ derart, dass eine Höhe das Dreieck ${}D$ in zwei verschiedene rechtwinklige Dreiecke ${}D_{1}$ und ${}D_{2}$ unterteilt so, dass die Seitenlängen von ${}D_{1}$ und ${}D_{2}$ jeweils pythagoreische Tripel bilden. Man gebe die Seitenlängen an.

Aufgabe (bis 2 Punkte)

Ergänze die Tabelle

Pythagoreische Tripel/Parametrische Charakterisierung/z bis 100/Tabelle

um alle pythagoreischen Tripel ${}(x,y,z)$ mit ${}z\leq 100$. Dabei sollen ${}u$ und ${}v$ teilerfremd sein und nicht beide ungerade. Die Tabelle soll nach der Größe von ${}z$ geordnet sein.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige: Um den Satz von Wiles für alle Exponenten ${}n\geq 3$ zu zeigen, genügt es, ihn für alle ungeraden Primzahlen als Exponenten zu beweisen.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige unter Verwendung des Satzes von Wiles, dass die diophantische Gleichung

$x^{n}+y^{n}+z^{n}=0$

für ${}n\geq 2$ keine von ${}(0,0,0)$ verschiedene Lösung besitzt.