Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 25/latex
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und sei ${\mathfrak f}$ ein
\definitionsverweis {gebrochenes Ideal}{}{}
$\neq 0$. Zeige unter Verwendung der
Korrespondenz
von Divisoren und gebrochenen Idealen, dass das inverse gebrochene Ideal ${\mathfrak f}^{-1}$ die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f}^{-1}
}
{ =} { { \left\{ q \in Q(R) \mid q {\mathfrak f} \subseteq R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
hat.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ < }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {quadratfrei}{}{}
und $A_D$ der zugehörige
\definitionsverweis {imaginär-quadratische Zahlbereich}{}{.}
Bestimme für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ \geq }{ -12
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Nichteinheiten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ A_D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit minimaler Norm.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und sei angenommen, dass jede ganze Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
eine Primfaktorzerlegung in $R$ besitzt. Zeige, dass dann $R$ bereits
\definitionsverweis {faktoriell}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $A_D$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{} und sei ${\mathfrak a}$ ein Ideal $\neq 0$ in $A_D$. Zeige, dass das konjugierte Ideal $\overline{ {\mathfrak a} }$ in der \definitionsverweis {Klassengruppe}{}{} das Inverse zu ${\mathfrak a}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \neq }{ 0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {quadratfrei}{}{}
und $A_D$ der zugehörige
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{.}
Es Es sei $p$ eine Primzahl, die in $A_D$ nicht
\definitionsverweis {träge}{}{}
sei. Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen.
\aufzaehlungvier{$p$ besitzt eine Primfaktorzerlegung in $A_D$.
}{$p$ ist nicht
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
\zusatzklammer {also zerlegbar} {} {}
in $A_D$.
}{$p$ oder $-p$ ist die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
eines Elementes aus $A_D$.
}{$p$ oder $-p$ ist die Norm eines
\definitionsverweis {Primelementes}{}{}
aus $A_D$.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und sei
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(f)
}
{ = }{ {\mathfrak p}_1 \cdots {\mathfrak p}_k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Zerlegung in Primideale und es sei vorausgesetzt, dass $f$ eine Primfaktorzerlegung besitzt. Zeige, dass die Primideale ${\mathfrak p}_i$ Hauptideale sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Im
\definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{}
\mathl{A_6 \cong \Z[\sqrt{6}]}{} gilt
\mathdisp {2\cdot 3 = \sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} { . }
Finde die Primfaktorzerlegungen (?) der beteiligten Faktoren und des Produktes.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Im
\definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{}
\mathl{A_{-6} \cong \Z[\sqrt{-6}]}{} gilt
\mathdisp {- 2\cdot 3 = \sqrt{-6} \cdot \sqrt{-6}} { . }
Kann man diese Produkte weiter zerlegen, sind die beteiligten Faktoren prim?
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{D \leq -2}{} quadratfrei und betrachte
\mathl{R=\Z[\sqrt{D}]}{.} Zeige, dass die einzige Faktorisierung (bis auf Einheiten) von $D$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D
}
{ =} { \sqrt{D} \sqrt{D}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist. Zeige damit, dass $\sqrt{D}$ irreduzibel ist. Zeige ferner, dass falls $-D$ keine Primzahl ist, dann auch $\sqrt{D}$ nicht prim in $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $D$ quadratfrei und betrachte
\mathl{\Z[\sqrt{D}] \subseteq A_D}{.} Charakterisiere für die beiden Ringe, wann $\sqrt{D}$ prim ist.
}
{} {}