Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 25

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}{\mathfrak {f}}$ ein gebrochenes Ideal ${}\neq 0$. Zeige unter Verwendung der Korrespondenz von Divisoren und gebrochenen Idealen, dass das inverse gebrochene Ideal ${}{\mathfrak {f}}^{-1}$ die Gestalt

${}{\mathfrak {f}}^{-1}={\left\{q\in Q(R)\mid q{\mathfrak {f}}\subseteq R\right\}}\,$

hat.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}D<0$ quadratfrei und ${}A_{D}$ der zugehörige imaginär-quadratische Zahlbereich. Bestimme für ${}D\geq -12$ die Nichteinheiten ${}z\in A_{D}$ mit minimaler Norm.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei angenommen, dass jede ganze Zahl ${}n\in \mathbb {Z}$, ${}n\neq 0$, eine Primfaktorzerlegung in ${}R$ besitzt. Zeige, dass dann ${}R$ bereits faktoriell ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal ${}\neq 0$ in ${}A_{D}$. Zeige, dass das konjugierte Ideal ${}{\overline {\mathfrak {a}}}$ in der Klassengruppe das Inverse zu ${}{\mathfrak {a}}$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}D\neq 0,1$ quadratfrei und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Es Es sei ${}p$ eine Primzahl, die in ${}A_{D}$ nicht träge sei. Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen.

1. ${}p$ besitzt eine Primfaktorzerlegung in ${}A_{D}$.
2. ${}p$ ist nicht irreduzibel (also zerlegbar) in ${}A_{D}$.
3. ${}p$ oder ${}-p$ ist die Norm eines Elementes aus ${}A_{D}$.
4. ${}p$ oder ${}-p$ ist die Norm eines Primelementes aus ${}A_{D}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Es sei ${}(f)={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}$ die Zerlegung in Primideale und es sei vorausgesetzt, dass ${}f$ eine Primfaktorzerlegung besitzt. Zeige, dass die Primideale ${}{\mathfrak {p}}_{i}$ Hauptideale sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Im quadratischen Zahlbereich ${}A_{6}\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {6}}]$ gilt

$2\cdot 3={\sqrt {6}}\cdot {\sqrt {6}}.$

Finde die Primfaktorzerlegungen (?) der beteiligten Faktoren und des Produktes.

Aufgabe (2 Punkte)

Im quadratischen Zahlbereich ${}A_{-6}\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {-6}}]$ gilt

$-2\cdot 3={\sqrt {-6}}\cdot {\sqrt {-6}}.$

Kann man diese Produkte weiter zerlegen, sind die beteiligten Faktoren prim?

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}D\leq -2$ quadratfrei und betrachte ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$. Zeige, dass die einzige Faktorisierung (bis auf Einheiten) von ${}D$ durch

${}D={\sqrt {D}}{\sqrt {D}}\,$

gegeben ist. Zeige damit, dass ${}{\sqrt {D}}$ irreduzibel ist. Zeige ferner, dass falls ${}-D$ keine Primzahl ist, dann auch ${}{\sqrt {D}}$ nicht prim in ${}R$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}D$ quadratfrei und betrachte ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subseteq A_{D}$. Charakterisiere für die beiden Ringe, wann ${}{\sqrt {D}}$ prim ist.