Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 26/latex
\inputaufgabe
{4}
{
Alle Springmäuse leben in $\Z^2$ und verfügen über zwei Sprünge, nämlich den Sprung
\mathl{\pm (3,4)}{} und den Sprung
\mathl{\pm (5,2)}{.} Wie viele Springmaus-Populationen gibt es? Die Springmäuse Albert, Beate, Erich, Heinz, Sabine und Frida sitzen in den Positionen
\mathdisp {(14,11),\, (13,15),\, (17, 12),\,(15,19 ) ,\, (16,16) \mbox{ und } (12,20)} { . }
Welche Springmäuse können sich begegnen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Skizziere zum Gitter $\Z^2$ in $\R^2$ drei Teilmengen, die die Maßbedingung des Gitterpunksatzes von Minkowski erfüllen, die den Nullpunkt, aber keine weiteren Gitterpunkte enthalten, und die jeweils zwei der drei Bedingungen \definitionsverweis {konvex}{}{,} \definitionsverweis {kompakt}{}{} und \definitionsverweis {zentralsymmetrisch}{}{} erfüllen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass der Durchschnitt von \definitionsverweis {konvexen}{}{} Mengen wieder konvex ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Charakterisiere die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
eines
\definitionsverweis {Gitters}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Kopiere die \definitionsverweis {Abschätzungskette}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Vol} ({\mathfrak N})
}
{ \geq} {\operatorname{Vol} (X \cup Y \cup B)
}
{ =} {\operatorname{Vol} (\bigcup_{i \in I} \tilde{T_i}) + \operatorname{Vol}(B)
}
{ >} {\sum_{i \in I} \operatorname{Vol}(\tilde{T}_i)
}
{ =} {\sum_{i \in I} \operatorname{Vol}(T_i)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {\operatorname{Vol}(T)
}
{ \geq} { 2^n \operatorname{Vol}({\mathfrak M})
}
{ =} {\operatorname{Vol}({\mathfrak N})
}
{ } {}
}{}{.}
auf deine Benutzerseite und begründe in den vorgesehenen Links die einzelnen Abschätzungen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $U$ eine Teilmenge des $\R^n$. Zeige, dass ein Punkt
\mathl{Q \in \R^n}{} genau dann zur konvexen Hülle von $U$ gehört, wenn es endlich viele Punkte
\mathl{P_i \in U}{,}
\mathl{i \in I}{,} und reelle Zahlen $r_i$,
\mathl{i \in I}{,} mit
\mathl{r_i \in [0,1]}{,}
\mathl{\sum_{i \in I}r_i =1}{} und mit
\mathdisp {Q= \sum_{i \in I} r_i P_i} { }
gibt.
}
{} {}