Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 27/latex
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{R=A_{-43}}{} der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zu
\mathl{D=-43}{.} Zeige mittels
Korollar 27.10,
dass $R$
\definitionsverweis {faktoriell}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{R=A_{-67}}{} der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mathl{D=-67}{.} Zeige mittels
Korollar 27.10, dass $R$
\definitionsverweis {faktoriell}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei
\mathl{R=A_{13}}{} der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zu
\mathl{D=13}{.} Zeige mittels
Korollar 27.10,
dass $R$
\definitionsverweis {faktoriell}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien $D$ und $E$ zwei verschiedene quadratfreie Zahlen und seien $A_D$ und $A_E$ die zugehörigen
\definitionsverweis {quadratischen Zahlbereiche}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A_D \cap A_E
}
{ =} { \Z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei
\mathl{R =A_{-15}=\Z[\frac{1+\sqrt{-15} }{2}]}{} der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zu
\mathl{D=-15}{.} Berechne zu
\mathdisp {q= \frac{3}{10} - \frac{5}{6} \sqrt{-15}} { }
den zugehörigen
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
und stelle ihn als Differenz zweier
\definitionsverweis {effektiver Divisoren}{}{}
dar.
}
{} {}
\inputaufgabe
{9}
{
Es sei
\mathl{R =A_{-11}=\Z[\frac{1+\sqrt{-11} }{2}]}{} der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mathl{D=-11}{.} Berechne mittels des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von
\mathdisp {35 + \sqrt{-11} \mbox{ und }-89 + 21 \sqrt{-11}} { . }
Tipp: berechne zuerst die Normen der beiden Elemente und davon den ganzzahligen ggT.
}
{} {Tipp: berechne zuerst die Normen der beiden Elemente und davon den ganzzahligen ggT.}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mathl{R =A_{-7}=\Z[\frac{1+\sqrt{-7} }{2}]}{} der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mathl{D=-7}{.} Bestimme die Primfaktorzerlegung von
\mathdisp {4 + 9 \sqrt{-7}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {kommutativen Ringe}{}{}
\mathl{\Z/(13)}{,}
\mathl{\Z/(169)}{} und ${\mathbb F}_{169}$. Bestimme alle
\definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{} zwischen diesen drei Ringen.Tipp: nicht die Endomorphismen, also die Homomorphismen von $R$ nach $R$, ignorieren.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$. Zeige, dass es ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft gibt, dass für alle
\definitionsverweis {maximale Ideale}{}{}
${\mathfrak m}$ gilt:
\mathdisp {f \in {\mathfrak m} \text{ genau dann, wenn } {\mathfrak a} \subseteq {\mathfrak m}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $D$ quadratfrei und sei $A_D$ der zugehörige
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{.}
Ferner sei $D$ ein Vielfaches von $5$ und
\mathl{D = 2,3 \mod 4}{.} Zeige: $A_D$ ist nicht
\definitionsverweis {faktoriell}{}{.}
}
{} {Tipp: Siehe
Aufgabe 25.5.}