Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 27/latex




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathl{R=A_{-43}}{} der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mathl{D=-43}{.} Zeige mittels Korollar 27.10, dass $R$ \definitionsverweis {faktoriell}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathl{R=A_{-67}}{} der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mathl{D=-67}{.} Zeige mittels Korollar 27.10, dass $R$ \definitionsverweis {faktoriell}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Es sei
\mathl{R=A_{13}}{} der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mathl{D=13}{.} Zeige mittels Korollar 27.10, dass $R$ \definitionsverweis {faktoriell}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es seien $D$ und $E$ zwei verschiedene quadratfreie Zahlen und seien $A_D$ und $A_E$ die zugehörigen \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereiche}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A_D \cap A_E }
{ =} { \Z }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{6}
{

Es sei
\mathl{R =A_{-15}=\Z[\frac{1+\sqrt{-15} }{2}]}{} der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mathl{D=-15}{.} Berechne zu
\mathdisp {q= \frac{3}{10} - \frac{5}{6} \sqrt{-15}} { }
den zugehörigen \definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{} und stelle ihn als Differenz zweier \definitionsverweis {effektiver Divisoren}{}{} dar.

}
{} {}




\inputaufgabe
{9}
{

Es sei
\mathl{R =A_{-11}=\Z[\frac{1+\sqrt{-11} }{2}]}{} der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mathl{D=-11}{.} Berechne mittels des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von
\mathdisp {35 + \sqrt{-11} \mbox{ und }-89 + 21 \sqrt{-11}} { . }
 Tipp: berechne zuerst die Normen der beiden Elemente und davon den ganzzahligen ggT.

}
{} {Tipp: berechne zuerst die Normen der beiden Elemente und davon den ganzzahligen ggT.}




\inputaufgabe
{5}
{

Es sei
\mathl{R =A_{-7}=\Z[\frac{1+\sqrt{-7} }{2}]}{} der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mathl{D=-7}{.} Bestimme die Primfaktorzerlegung von
\mathdisp {4 + 9 \sqrt{-7}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{6}
{

Betrachte die \definitionsverweis {kommutativen Ringe}{}{}
\mathl{\Z/(13)}{,}
\mathl{\Z/(169)}{} und ${\mathbb F}_{169}$. Bestimme alle \definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{} zwischen diesen drei Ringen.Tipp: nicht die Endomorphismen, also die Homomorphismen von $R$ nach $R$, ignorieren.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$. Zeige, dass es ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ {\mathfrak a} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Eigenschaft gibt, dass für alle \definitionsverweis {maximale Ideale}{}{} ${\mathfrak m}$ gilt:
\mathdisp {f \in {\mathfrak m} \text{ genau dann, wenn } {\mathfrak a} \subseteq {\mathfrak m}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $D$ quadratfrei und sei $A_D$ der zugehörige \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{.} Ferner sei $D$ ein Vielfaches von $5$ und
\mathl{D = 2,3 \mod 4}{.} Zeige: $A_D$ ist nicht \definitionsverweis {faktoriell}{}{.}

}
{} {Tipp: Siehe Aufgabe 25.5.}