Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 27

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R=A_{-43}$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=-43$. Zeige mittels Korollar 27.10, dass ${}R$ faktoriell ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R=A_{-67}$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=-67$. Zeige mittels Korollar 27.10, dass ${}R$ faktoriell ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R=A_{13}$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=13$. Zeige mittels Korollar 27.10, dass ${}R$ faktoriell ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}D$ und ${}E$ zwei verschiedene quadratfreie Zahlen und seien ${}A_{D}$ und ${}A_{E}$ die zugehörigen quadratischen Zahlbereiche. Zeige

${}A_{D}\cap A_{E}=\mathbb {Z} \,.$

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}R=A_{-15}=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-15}}}{2}}]$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=-15$. Berechne zu

$q={\frac {3}{10}}-{\frac {5}{6}}{\sqrt {-15}}$

den zugehörigen Hauptdivisor und stelle ihn als Differenz zweier effektiver Divisoren dar.

Aufgabe (9 Punkte)

Es sei ${}R=A_{-11}=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-11}}}{2}}]$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=-11$. Berechne mittels des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von

$35+{\sqrt {-11}}{\mbox{ und }}-89+21{\sqrt {-11}}.$

 Tipp: berechne zuerst die Normen der beiden Elemente und davon den ganzzahligen ggT.

Tipp: berechne zuerst die Normen der beiden Elemente und davon den ganzzahligen ggT.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}R=A_{-7}=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-7}}}{2}}]$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=-7$. Bestimme die Primfaktorzerlegung von

$4+9{\sqrt {-7}}.$

Aufgabe (6 Punkte)

Betrachte die kommutativen Ringe ${}\mathbb {Z} /(13)$, ${}\mathbb {Z} /(169)$ und ${}{\mathbb {F} }_{169}$. Bestimme alle Ringhomomorphismen zwischen diesen drei Ringen.Tipp: nicht die Endomorphismen, also die Homomorphismen von ${}R$ nach ${}R$, ignorieren.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein quadratischer Zahlbereich und ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal in ${}R$. Zeige, dass es ein Element ${}f\in {\mathfrak {a}}$ mit der Eigenschaft gibt, dass für alle maximale Ideale ${}{\mathfrak {m}}$ gilt:

$f\in {\mathfrak {m}}{\text{ genau dann, wenn }}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}.$

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}D$ quadratfrei und sei ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Ferner sei ${}D$ ein Vielfaches von ${}5$ und ${}D=2,3\mod 4$. Zeige: ${}A_{D}$ ist nicht faktoriell.

Tipp: Siehe Aufgabe 25.5.