Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 3
Aufgabe (2 Punkte)
Finde einen Primfaktor der Zahl .
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .
Aufgabe (2 Punkte)
Wende auf zwei aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen den euklidischen Algorithmus an. Welche Gesetzmäßigkeit tritt auf?
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome und .
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (2 Punkte)
Es seien und teilerfremde Zahlen. Zeige, dass jede Lösung der Gleichung
die Gestalt mit einer eindeutig bestimmten Zahl besitzt.
Aufgabe (2 Punkte)
In der folgenden Aufgabe wird der Logarithmus verwendet. Für Eigenschaften dieser Funktion, die aus der Anfängervorlesung bekannt ist, siehe das Merkblatt.
Aufgabe (4 (3+1) Punkte)
Betrachte die reellen Zahlen als -Vektorraum. Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen , wobei durch die Menge der Primzahlen läuft, linear unabhängig ist. Bleibt das Ergebnis gültig, wenn man den natürlichen Logarithmus durch einen Logarithmus zu einer anderen Basis ersetzt?
Aufgabe (3 (2+1) Punkte)
Es sei
.
a) Finde aufeinander folgende natürliche Zahlen (also ), die alle nicht prim sind.
b) Finde unendlich viele solcher primfreien -„Intervalle“.