Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 4/latex
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme alle Lösungen der linearen Kongruenz
\mathl{12x=3 \mod 21}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme den Rest von $27!$ modulo $31$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1-4}
{
Gehe auf die Seite \einrueckung{Operationstafeln für Restklassenringe von Z} und erstelle für einen der angeführten Restklassenringe $\Z/(n)$ im entsprechenden Link Operationstafeln für die Addition und die Multiplikation (kategorisiere!).
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Formuliere und beweise
\zusatzklammer {bekannte} {} {}
Teilbarkeitskriterien für Zahlen im Dezimalsystem für die Teiler
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ 2,3,5,9,11
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Beweise durch Induktion den
kleinen Fermat,
also die Aussage, dass
\mathl{a^p -a}{} ein Vielfaches von $p$ für jede ganze Zahl $a$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
der einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der positiven
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
enthalte
\zusatzklammer {dabei ist $p$ eine Primzahl} {} {.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {R} {R
} {f} {f^p
} {,}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
ist, den man den \stichwort {Frobeniushomomorphismus} {} nennt.
}
{} {Tipp: Benutze
Aufgabe 3.2.}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $p$ eine Primzahl und sei
\mathl{f(x)}{} ein Polynom mit Koeffizienten in
\mathl{\Z/(p)}{} vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \geq }{ p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es ein Polynom $g(x)$ mit einem Grad $< p$ derart gibt, dass für alle Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \Z/(p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(a)
}
{ =} { g(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ = }{ x^7+2x^3 +3x+4
}
{ \in }{ { \left( \Z/(5) \right) } [x]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Finde ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(x)
}
{ \in }{ { \left( \Z/(5) \right) } [x]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom Grad $< 5$, das für alle Elemente aus
\mathl{\Z/(5)}{} mit
\mathl{f(x)}{} übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
a) Bestimme für die Zahlen $2$, $3$ und $7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(2) \times \Z/(3) \times \Z/(7)} { }
die Restetupel
$(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$
repräsentieren.
b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 1 \!\! \mod 2 , \, \, \, \, x = 2 \!\! \mod 3 \text{ und } x = 2 \!\! \mod 7} { . }
}
{} {}