Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 4
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme alle Lösungen der linearen Kongruenz .
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme den Rest von modulo .
Aufgabe (1-4 Punkte)
Gehe auf die Seite
und erstelle für einen der angeführten Restklassenringe im entsprechenden Link Operationstafeln für die Addition und die Multiplikation (kategorisiere!).
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere und beweise (bekannte) Teilbarkeitskriterien für Zahlen im Dezimalsystem für die Teiler .
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei eine Primzahl. Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass ein Vielfaches von für jede ganze Zahl ist.
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte (dabei ist eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung
ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.
Tipp: Benutze Aufgabe 3.2.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei eine Primzahl und sei ein Polynom mit Koeffizienten in vom Grad . Zeige, dass es ein Polynom mit einem Grad derart gibt, dass für alle Elemente die Gleichheit
gilt.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei . Finde ein Polynom vom Grad , das für alle Elemente aus mit übereinstimmt.
![{\displaystyle {}f(x)=x^{7}+2x^{3}+3x+4\in {\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dbb9590d24c0f5b93791478a1d7a6a65c838ef8)
![{\displaystyle {}g(x)\in {\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/548b17e98f1636c7d07d49113e9ef4d5625a387f)
Aufgabe (3 Punkte)
a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
die Restetupel und repräsentieren.
b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen
