Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 9

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für die Zahlen ${}n$ zwischen ${}155$ und ${}159$, ob ${}n$ die Summe von zwei ganzzahligen Quadraten ist. Man gebe alle möglichen Darstellungen an.

Aufgabe (2 Punkte)

Finde für alle Zehnerpotenzen ${}\geq 10$ eine Darstellung als Summe von zwei positiven Quadraten.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass eine Primzahl ${}p$ höchstens eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten besitzt.

Aufgabe (2 Punkte)

Finde die kleinste natürliche Zahl, die sich auf mehrfache Weise als Summe von zwei Quadratzahlen darstellen lässt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl, in deren Primfaktorzerlegung ${}r$ Faktoren vorkommen. Wie viele Darstellungen als Summe von zwei Quadratzahlen besitzt ${}n$ maximal?

Aufgabe (2-3 Punkte)

Bestimme für eine oder mehrere Gaußsche Zahlen in diesem Diagramm (oder diesem) die Primfaktorzerlegung und trage das Ergebnis (mit Begründung) in den vorgesehenen Link ein. Man beschränke sich dabei auf Zahlen unterhalb der Hauptdiagonalen.

Die Gitterpunkte im farbig hinterlegten Bereich und entlang seines Randes sind als Link anklickbar.

Gaußsche Ebene, 1. Quadrant

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass eine ganze Zahl ${}n$ genau dann die Differenz zweier Quadratzahlen ist, wenn der Exponent von ${}2$ in der Primfaktorzerlegung von ${}n$ gleich ${}0$ oder ${}\geq 2$ ist.

Aufgabe (7 (1+1+1+4) Punkte)

Für einen Körper ${}K$ bezeichnet ${}K^{\times 2}\subseteq K^{\times }$ die Untergruppe aller Quadrate. Bestimme für die folgenden Körper die Restklassengruppe

$K^{\times }/K^{\times 2}.$

1. ${}K$ ist ein endlicher Körper.
2. ${}K=\mathbb {R}$.
3. ${}K=\mathbb {C}$.
4. ${}K=\mathbb {Q}$.