Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Liste der Hauptsätze

???: Prim und irreduzibel in Integritätsbereichen

In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.

 

???: Euklidischer Bereich ist ...

Ein euklidischer Bereich ist ein Hauptidealbereich.

 

???: Lemma von Bezout (Hauptidealbereich)

Es sei ${}R$ ein Hauptidealring. Dann gilt:

Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler ${}d$, und dieser lässt sich als Linearkombination der ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ darstellen, d.h. es gibt Elemente ${}r_{1},\ldots ,r_{n}\in R$ mit ${}r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}+\cdots +r_{n}a_{n}=d$.

Insbesondere besitzen teilerfremde Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ eine Darstellung der ${}1$.

 

???: Lemma von Euklid (Hauptidealbereich)

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}a,b,c\in R$. Es seien ${}a$ und ${}b$ teilerfremd und ${}a$ teile das Produkt ${}bc$. Dann teilt ${}a$ den Faktor ${}c$.

 

???: Prim und irreduzibel (Hauptidealbereich)

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann prim,

wenn es irreduzibel ist.

 

???: Hauptidealbereich ist ...

In einem Hauptidealbereich lässt sich jede Nichteinheit ${}a\neq 0$ darstellen als Produkt von Primelementen. Diese Darstellung ist eindeutig bis auf Reihenfolge und Assoziiertheit. Wählt man aus jeder Assoziiertheitsklasse von Primelementen einen festen Repräsentanten ${}p$, so gibt es eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Darstellung ${}a=u\cdot p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$, wobei ${}u$ eine Einheit ist und die ${}p_{i}$ Repräsentanten sind.

 

???: Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie

Jede positive natürliche Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.

 

???: Einheiten modulo n

Genau dann ist ${}a\in \mathbb {Z}$ eine Einheit modulo ${}n$ (d.h. ${}a$ repräsentiert eine Einheit in $\mathbb {Z} /(n)$), wenn ${}a$ und ${}n$ teilerfremd sind.

 

???: Restklassenkörper von ${}\mathbb {Z}$

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$. Der Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(n)$ ist genau dann ein Körper,

wenn ${}n$ eine Primzahl ist.

 

???: Kleiner Fermat

Für eine Primzahl ${}p$ und eine beliebige ganze Zahl ${}a$ gilt

${}a^{p}\equiv a\mod p\,.$

Anders ausgedrückt: ${}a^{p}-a$ ist durch ${}p$ teilbar.

 

???: Der chinesische Restsatz

Es sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung

${}n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\,$

(die ${}p_{i}$ seien also verschieden und ${}r_{i}\geq 1$).

Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen ${}\mathbb {Z} /(n)\rightarrow \mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})$ einen Ringisomorphismus

${}\mathbb {Z} /(n)\cong \mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\times \mathbb {Z} /(p_{2}^{r_{2}})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\,.$

Zu gegebenen ganzen Zahlen ${}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k})$ gibt es also genau eine natürliche Zahl ${}a<n$, die die simultanen Kongruenzen

$a=a_{1}\mod p_{1}^{r_{1}},\,\,a=a_{2}\mod p_{2}^{r_{2}},\,\ldots ,\,\,a=a_{k}\mod p_{k}^{r_{k}}$

löst.

 

???: Endliche multiplikative Untergruppe in einem Körper

Es sei ${}U\subseteq K^{\times }$ eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers ${}K$.

Dann ist ${}U$ zyklisch.

 

???: Einheitengruppe in Restklassenkörpern von ${}\mathbb {Z}$

Es sei ${}p$ eine Primzahl.

Dann ist die Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ zyklisch mit der Ordnung ${}p-1$.

Es gibt also Elemente ${}g$ mit der Eigenschaft, dass die Potenzen ${}g^{i}$, ${}i=0,1,\ldots ,p-2$, alle Einheiten durchlaufen.

 

???: Einheitengruppe modulo Primzahlpotenz

Es sei ${}p\geq 3$ eine Primzahl und ${}r\geq 1$. Dann ist die Einheitengruppe

${\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }$

des Restklassenrings ${}\mathbb {Z} /(p^{r})$ zyklisch.

 

???: Restklassenringe von ${}\mathbb {Z}$ mit zyklischer Einheitengruppe

Die Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ ist genau dann zyklisch, wenn

${}n=1,2,4,p^{s},2p^{s}\,$

ist, wobei ${}p$ eine ungerade Primzahl und ${}s\geq 1$ ist.

 

???: Wann ist ${}-1$ ein Quadrat?

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Dann gelten folgende Aussagen.

Für ${}p=2$ ist ${}-1=1$ ein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(2)$.

Für ${}p=1\!\!\!\!\mod 4$ ist ${}-1$ ein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$.

Für ${}p=3\!\!\!\!\mod 4$ ist ${}-1$ kein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$.

 

???: Anzahl von Quadratresten

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl. Dann gibt es ${}{\frac {p+1}{2}}$ quadratische Reste modulo ${}p$ und ${}{\frac {p-1}{2}}$ nichtquadratische Reste modulo ${}p$.

 

???: Euler-Kriterium

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl. Dann gilt für eine zu ${}p$ teilerfremde Zahl ${}k$ die Gleichheit

$\left({\frac {k}{p}}\right)=k^{\frac {p-1}{2}}\mod p.$

 

???: Quadratisches Reziprozitätsgesetz

Es seien ${}p$ und ${}q$ verschiedene ungerade Primzahlen. Dann gilt:

${}\left({\frac {p}{q}}\right)\cdot \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}}={\begin{cases}-1\,,{\text{ wenn }}p=q=3\mod 4\,,\\1\,,{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$

 

???: 1. Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz

Für eine ungerade Primzahl ${}p$ gilt:

${}\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}={\begin{cases}1\,,{\text{ falls }}p=1\mod 4\,,\\-1\,,{\text{ sonst }}{\text{(also bei }}p=3\mod 4{\mbox{)}}\,.\end{cases}}\,$

 

???: 2. Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz

Für eine ungerade Primzahl ${}p$ gilt:

${}\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}=\left\{{\begin{matrix}1\,,&{\mbox{falls}}&p=\pm 1\mod 8\,,\\-1&{\mbox{sonst}}&{\mbox{(also }}p=\pm 3\mod 8{\mbox{)}}&\,.\end{matrix}}\right.\,$

 

???: Primelemente in Gaußschen Zahlen

Es sei ${}p$ ein ungerade Primzahl. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}p$ ist die Summe von zwei Quadraten, ${}p=x^{2}+y^{2}$ mit ${}x,y\in \mathbb {Z}$.
2. ${}p$ ist die Norm eines Elementes aus ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.
3. ${}p$ ist zerlegbar (nicht prim) in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.
4. ${}-1$ ist ein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$.
5. Es ist ${}p=1\mod 4$.

 

???: Charakterisierung von Quadratsummen

Es sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl. Wir schreiben ${}n=r^{2}m$, wobei jeder Primfaktor von ${}m$ nur einfach vorkomme. Dann ist ${}n$ die Summe von zwei Quadraten genau dann, wenn in der Primfaktorzerlegung von ${}m$ nur ${}2$ und Primzahlen vorkommen, die modulo ${}4$ den Rest ${}1$ haben.

 

???: Charakterisierung von pythagoreischen Tripel

Es sei ${}(x,y,z)$ ein pythagoreisches Tripel mit ${}y$ gerade und mit ${}z\neq -x$.

Dann gibt es eindeutig bestimmte ganze teilerfremde Zahlen ${}(u,v)$ mit ${}v>0$ und ${}a\in \mathbb {Z}$ und mit

$x=a(v^{2}-u^{2}),\,y=a(2uv),\,z=a(u^{2}+v^{2}).$

Das pythagoreische Tripel ist primitiv genau dann, wenn ${}a$ eine Einheit ist und ${}u$ und ${}v$ nicht beide ungerade sind.

 

???: Satz von Fermat-Euler

Die diophantische Gleichung

${}x^{4}+y^{4}=z^{2}\,$

hat keine ganzzahlige nichttriviale Lösung.

 

???: Satz von Euklid (Primzahlen)

Es gibt unendlich viele Primzahlen.

 

???: Satz von Euler über Primzahlkehrwerte

Die Reihe der Kehrwerte der Primzahlen, also

$\sum _{p\in {\mathbb {P} }}{\frac {1}{p}}$

divergiert.

 

???: Der Primzahlsatz

Es gilt die asymptotische Abschätzung

${}\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}\,.$

Das heißt

${}\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{\frac {x}{\ln(x)}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\ln(x)}{x}}=1\,.$

 

???: Satz von Dirichlet über arithmetische Progressionen

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl und ${}a$ eine zu ${}n$ teilerfremde Zahl. Dann gibt es unendlich viele Primzahlen, die modulo ${}n$ den Rest ${}a$ haben.

 

???: Ungleichungen von Tschebyschow

Es gibt Konstanten ${}C>c>0$ derart, dass die Primzahlfunktion ${}\pi (x)$ für alle ${}x$ den Abschätzungen

${}c{\frac {x}{\ln(x)}}\leq \pi (x)\leq C{\frac {x}{\ln(x)}}\,$

genügt.

 

???: Bertrandsches Postulat

Für jede positive natürliche Zahl ${}n$ gibt es eine Primzahl zwischen ${}n+1$ und ${}2n$.

 

???: Vollkommene Zahlen und Mersenne-Primzahlen

Eine gerade Zahl ${}n$ ist genau dann vollkommen, wenn ${}n=2^{k-1}(2^{k}-1)$ ist mit ${}2^{k}-1$ prim.

 

???: Charakterisierung von Carmichael-Zahlen

Eine natürliche nicht-prime Zahl ${}n\geq 2$ ist genau dann eine Carmichael-Zahl, wenn jeder Primteiler ${}p$ von ${}n$ einfach ist und ${}p-1$ die Zahl ${}n-1$ teilt.

 

???: Norm und Spur im Minimalpolynom

Sei ${}K\subseteq L=K[f]$ eine einfache endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$. Dann hat das Minimalpolynom ${}P$ von ${}f$ die Gestalt

${}P=X^{n}-S(f)X^{n-1}+\cdots +(-1)^{n}N(f)\,.$

 

???: Transformation der Diskriminante

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und seien ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ und ${}c_{1},\ldots ,c_{n}$ ${}K$- Basen von ${}L$. Der Basiswechsel werde durch ${}c=Tb$ mit der Übergangsmatrix ${}T={\left(t_{ij}\right)}_{ij}$ beschrieben. Dann gilt für die Diskriminanten die Beziehung

${}\triangle (c_{1},\ldots ,c_{n})=(\det(T))^{2}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})\,.$

 

???: Charakterisierung von Primidealen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Ideal in ${}R$.

Dann ist ${}{\mathfrak {p}}$ genau dann ein Primideal, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich ist.

 

???: Charakterisierung vom maximalen Idealen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {m}}$ ein Ideal in ${}R$.

Dann ist ${}{\mathfrak {m}}$ genau dann ein maximales Ideal, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {m}}$ ein Körper ist.

 

???: Charakterisierung von ganzen Elementen

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Für ein Element ${}x\in S$ sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}x$ ist ganz über ${}R$.
2. Es gibt eine ${}R$-Unteralgebra ${}T$ von ${}S$ mit ${}x\in T$ und die ein endlicher ${}R$-Modul ist.
3. Es gibt einen endlichen ${}R$-Untermodul ${}M$ von ${}S$, der einen Nichtnullteiler aus ${}S$ enthält, mit ${}xM\subseteq M$.

 

???: Normalität faktorieller Bereiche

Es sei ${}R$ ein faktorieller Integritätsbereich.

Dann ist ${}R$ normal.

 

???: Wurzeln aus Zahlen

Es sei ${}n=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$ die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl ${}n$. Es sei ${}k$ eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten ${}\alpha _{i}$ ein Vielfaches von ${}k$ sind. Dann ist die reelle Zahl

$n^{\frac {1}{k}}$

irrational.

 

???: Zahlentheorie/Ganzheitsring/ist normal/Fakt

Zahlentheorie/Ganzheitsring/ist normal/Fakt

 

???: Ideal in Ganzheitsring enthält ...

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich.

Dann enthält jedes von ${}0$ verschiedene Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ eine Zahl ${}m\in \mathbb {Z}$ mit ${}m\neq 0$.

 

???: Charakterisierung von ganz

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}f\in Q(R)=L$. Dann ist ${}f$ genau dann ganz über ${}\mathbb {Z}$, wenn die Koeffizienten des Minimalpolynoms von ${}f$ über ${}\mathbb {Q}$ alle ganzzahlig sind.

 

???: Gruppenstruktur von Idealen in Zahlbereichen

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$.

Dann ist ${}{\mathfrak {a}}$ eine freie abelsche Gruppe vom Rang ${}n$,

d.h. es gibt Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ mit

${}{\mathfrak {a}}=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,,$

wobei die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes aus ${}{\mathfrak {a}}$ eindeutig bestimmt sind.

 

???: Additive Struktur der Zahlbereiche

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich.

Dann ist ${}R$ eine freie abelsche Gruppe vom Rang ${}n$,

d.h. es gibt Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in R$ mit

${}R=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,$

derart, dass die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes eindeutig bestimmt sind.

 

???: Zahlbereiche sind ...

Jeder Zahlbereich ist ein noetherscher Ring.

 

???: Restklassenring von Zahlbereich

Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem Zahlbereich ${}R$

ist der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ endlich.

 

???: Primideale in Zahlbereichen

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Dann ist jedes von ${}0$ verschiedene Primideal von ${}R$ bereits ein maximales Ideal.

 

???: Hauptidealbereiche sind ...

Hauptidealbereiche sind Dedekindbereiche.

 

???: Hauptsatz für endliche Körper

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}e\in \mathbb {N} _{+}$.

Dann gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper mit ${}q=p^{e}$ Elementen.

 

???: Struktur quadratischer Zahlbereiche

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann gilt

$A_{D}={\mathbb {Z} }[{\sqrt {D}}],{\text{ wenn }}D=2,3\mod 4$

und

$A_{D}={\mathbb {Z} }[{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}],{\text{ wenn }}D=1\mod 4.$

 

???: Satz über die Diskriminante quadratischer Zahlbereiche

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann ist die Diskriminante von ${}A_{D}$ gleich

$\triangle =4D,{\text{ wenn }}D=2,3\mod 4$

und

$\triangle =D,{\text{ wenn }}D=1\mod 4.$

 

???: Primzahlen aus ${}\mathbb {Z}$ in quadratischen Zahlbereichen

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich.

Dann gibt es für eine Primzahl ${}p$ die folgenden drei Möglichkeiten:

1. ${}p$ ist prim in ${}A_{D}$.
2. Es gibt ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}A_{D}$ derart, dass ${}(p)={\mathfrak {p}}^{2}$ ist.
3. Es gibt ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}A_{D}$ derart, dass ${}(p)={\mathfrak {p}}{\overline {\mathfrak {p}}}$ mit ${}{\mathfrak {p}}\neq {\overline {\mathfrak {p}}}$ ist.

 

???: Norm von Element und Ideal

Es sei ${}A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich und sei ${}f\neq 0$ ein Element. Setze ${}{\mathfrak {a}}=(f)$. Dann gilt ${}N({\mathfrak {a}})=\mid \!N(f)\!\mid$.

 

???: Norm und konjugiertes Ideal

Es sei ${}A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}A_{D}$.

Dann gilt

${}{\mathfrak {a}}{\overline {\mathfrak {a}}}=(N({\mathfrak {a}}))\,.$

 

???: Durchschnitt von Lokalisierungen

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$.

Dann gilt

${}R=\bigcap _{{\mathfrak {m}}{\text{ maximal }}}R_{\mathfrak {m}}\,,$

wobei der Durchschnitt über alle maximale Ideale läuft und in ${}Q(R)$ genommen wird.

 

???: Charakterisierungssatz für diskrete Bewertungsringe

Es sei ${}R$ ein noetherscher lokaler Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale ${}0\subset {\mathfrak {m}}$ gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist ein diskreter Bewertungsring.
2. ${}R$ ist ein Hauptidealbereich.
3. ${}R$ ist faktoriell.
4. ${}R$ ist normal.
5. ${}{\mathfrak {m}}$ ist ein Hauptideal.

 

???: Lokalisierungen von Dedekindbereichen

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und sei ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal in ${}R$.

Dann ist die Lokalisierung

$R_{\mathfrak {m}}$

ein diskreter Bewertungsring.

 

???: Ideale und effektive Divisoren

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich.

Dann sind die Zuordnungen

${\mathfrak {a}}\longmapsto \operatorname {div} ({\mathfrak {a}}){\text{ und }}D\longmapsto \operatorname {Id} (D)$

zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der von ${}0$ verschiedenen Ideale und der Menge der effektiven Divisoren.

Diese Bijektion übersetzt das Produkt von Idealen in die Summe von Divisoren.

 

???: Idealzerlegungssatz von Dedekind

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal in ${}R$.

Dann gibt es eine Produktdarstellung

${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,$

mit (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmten Primidealen ${}{\mathfrak {p}}_{i}\neq 0$ aus ${}R$ und eindeutig bestimmten Exponenten ${}r_{i}$, ${}i=1,\ldots ,k$.

 

???: Darstellung von Hauptidealen in Zahlbereichen

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$.

Dann gibt es eine Produktdarstellung für das Hauptideal

${}(f)={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,$

mit (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmten Primidealen ${}{\mathfrak {p}}_{i}\neq 0$ aus ${}R$ und eindeutig bestimmten Exponenten ${}r_{i}$, ${}i=1,\ldots ,k$.

 

???: Divisoren und gebrochene Ideale

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es sei ${}{\mathfrak {f}}$ ein gebrochenes Ideal mit einer Darstellung ${}{\mathfrak {f}}={\frac {\mathfrak {a}}{h}}$ mit ${}h\in R$ und einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$. Dann ist

   ${}\operatorname {div} {\left({\mathfrak {f}}\right)}=\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}-\operatorname {div} {\left(h\right)}\,.$

2. Zu einem Divisor ${}D$ gibt es ein ${}h\in R$ derart, dass ${}D+\operatorname {div} {\left(h\right)}$ effektiv ist.
3. Zu einem Divisor ${}D$ mit ${}E=D+\operatorname {div} {\left(h\right)}$ effektiv ist

   ${}\operatorname {Id} (D)={\frac {\operatorname {Id} (E)}{h}}\,.$

 

???: Charakterisierung von faktoriell mit Divisorenklassengruppe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und es bezeichne ${}\operatorname {DKG} {\left(R\right)}$ die Divisorenklassengruppe von ${}R$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist ein Hauptidealbereich.
2. ${}R$ ist faktoriell.
3. Es ist ${}\operatorname {DKG} {\left(R\right)}=0$.

 

???: Charakterisierung von normeuklidischen imaginär-quadratischen Zahlbereichen

Es sei ${}D<0$ quadratfrei und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}A_{D}$ ist euklidisch.
2. ${}A_{D}$ ist normeuklidisch.
3. Es ist ${}D=-1,-2,-3,-7,-11$.

 

???: Gitterpunktsatz von Minkowski

Es sei ${}\Gamma$ ein Gitter im ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit Grundmasche ${}{\mathfrak {M}}$. Es sei ${}T$ eine konvexe, kompakte, zentralsymmetrische Teilmenge in ${}\mathbb {R} ^{n}$, die zusätzlich die Volumenbedingung

${}\operatorname {Vol} (T)\geq 2^{n}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}})\,$

erfülle. Dann enthält ${}T$ mindestens einen von ${}0$ verschiedenen Gitterpunkt.

 

???: Klassenzahl von quadratischen Zahlbereichen

Sei ${}R=A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich. Dann ist die Divisorenklassengruppe von ${}R$ eine endliche Gruppe.

 

???: Potenz von Idealen in quadratischen Zahlbereichen

Sei ${}R=A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal in ${}R$. Dann gibt es ein ${}n\geq 1$ derart, dass ${}{\mathfrak {a}}^{n}$ ein Hauptideal ist.

 

???: Faktorialitätskriterium für quadratische Zahlbereiche

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und sei ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante ${}\triangle$. Es sei vorausgesetzt, dass jede Primzahl ${}p$ mit

${}p\leq {\begin{cases}{\frac {2{\sqrt {|\triangle |}}}{\pi }}&{\mbox{ bei }}\,D<0\,,\\{\frac {\sqrt {|\triangle |}}{2}}&{\mbox{ bei }}\,D>0\,.\end{cases}}\,$

in ${}A_{D}$ eine Primfaktorzerlegung besitzt. Dann ist ${}A_{D}$ faktoriell.