Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 22/latex
\setcounter{section}{22}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein Integritätsbereich und
\mathl{S \subseteq R}{} ein multiplikatives System. Zeige, dass die Primideale in $R_S$ genau denjenigen Primidealen in $R$ entsprechen, die mit $S$ einen leeren Durchschnitt haben.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige, dass die Menge aller \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} in $R$ ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} bildet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {ganze Erweiterung}{}{}
von
\definitionsverweis {Integritätsbereichen}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Zeige, dass dann auch die zugehörige Erweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_F
}
{ \subseteq }{S_F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ganz ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \neq }{ 0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z[\sqrt{D}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $A_D$ der zugehörige Ganzheitsring. Zeige, dass nach
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
an $2$ ein
\definitionsverweis {Ringisomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { R_2 } { (A_D)_2
} {}
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $\Z_n$ die Nenneraufnahme zu $n$
\zusatzklammer {$\Z_n$ besteht also aus allen rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von $n$ als Nenner schreiben kann} {} {.}
Zeige, dass es nur endlich viele Unterringe $R$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq} { R
}
{ \subseteq} { \Z_n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt, und charakterisiere diese unter Verwendung der Primfaktorzerlegung von $n$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und seien
\mathl{f,g \in \Z}{}
\definitionsverweis {teilerfremde}{}{}
Zahlen. Zeige, dass für den
\zusatzklammer {im Quotientenkörper $Q(R)$ genommenen} {} {}
Durchschnitt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_f \cap R_g
}
{ =} {R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{T \subseteq {\mathbb P}}{} eine Teilmenge der
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{.}
Zeige, dass die Menge
\mathdisp {R_T = { \left\{ q \in \Q \mid q \text{ lässt sich mit einem Nenner schreiben, in dem nur Primzahlen aus } T \text{ vorkommen} \right\} }} { }
ein
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
von $\Q$ ist. Was ergibt sich bei $T= \emptyset$,
\mathl{T= \{3 \}}{,}
\mathl{T= \{2,5 \}}{,}
\mathl{T= {\mathbb P}}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \notin }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass die
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
zu $S$, also $R_S$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_S
}
{ \defeq} { { \left\{ \frac{f}{g} \mid f \in R , \, g \in S \right\} }
}
{ \subseteq} { Q(R)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Unterring von
\mathl{Q(R)}{} ist.
} {Zeige, dass nicht jeder Unterring von $Q(R)$ eine Nenneraufnahme ist.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Man definiert die
\definitionswortenp{Nenneraufnahme}{}
\mathdisp {R_S} { }
schrittweise wie folgt. Es sei zunächst $M$ die Menge der formalen Brüche mit Nenner in $S$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {{ \left\{ \frac{r}{s} \mid r \in R , \, s \in S \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass durch
\mathdisp {\frac{r}{s} \sim \frac{r'}{s'} \text{ genau dann, wenn es ein } t \in S \text{ mit } trs' =tr's \text{ gibt}} { , }
eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf $M$ definiert ist. Wir bezeichnen mit $R_S$ die Menge der Äquivalenzklassen. Definiere auf $R_S$ eine Ringstruktur und definiere einen
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\mathl{R \rightarrow R_S}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {idempotentes Element}{}{.}
Zeige, dass es eine natürliche
\definitionsverweis {Ringisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_e
}
{ \cong} { R/(1-e)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mathl{f \in R}{} ein Element und $R_f$ die zugehörige
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{.}
Zeige, dass $f$ genau dann
\definitionsverweis {nilpotent}{}{}
ist, wenn $R_f$ der Nullring ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mathl{S \subseteq R}{} ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Definiere die \anfuehrung{Nenneraufnahme}{}
\mathdisp {M_S} { }
und zeige, dass sie ein $R_S$-Modul ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien $R$ und $A$
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\mathl{S \subseteq R}{} ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {R} {A
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
derart, dass $\varphi(s)$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
in $A$ ist für alle
\mathl{s \in S}{.} Zeige: Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} {R_S} {A
} {,}
der $\varphi$ fortsetzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Zeige, dass $R$ genau dann ein
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{}
ist, wenn
\mathl{a+b}{} nur dann eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist, wenn $a$ oder $b$ eine Einheit ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
in $R$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
$R_{\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{}
mit
\definitionsverweis {maximalem Ideal}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}R_{\mathfrak p}
}
{ \defeq} { { \left\{ \frac{f}{g} \mid f \in {\mathfrak p} , \, g \notin {\mathfrak p} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{$R$ ist \definitionsverweis {normal}{}{.} }{Für jedes \definitionsverweis {Primideal}{}{} ${\mathfrak p}$ ist die \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} $R_{\mathfrak p}$ normal. }{Für jedes \definitionsverweis {maximale Ideal}{}{} ${\mathfrak m}$ ist die Lokalisierung $R_{\mathfrak m}$ normal.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ \bigcap_{i \in I} R_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei die
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R_i
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
alle
\definitionsverweis {diskrete Bewertungsringe}{}{}
seien. Zeige: $R$ ist
\definitionsverweis {normal}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\maabbdisp {\nu} {(K^\times, \cdot,1)} { (\Z,+,0)
} {}
ein
\definitionsverweis {surjektiver}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(f+g)
}
{ \geq }{\min\{ \nu(f) , \nu(g)\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{ K^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { { \left\{ f \in K^\times \mid \nu(f) \geq 0 \right\} } \cup \{0\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q$. Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen $R$ und $Q$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.}
Definiere zu einem Element
\mathbed {q \in Q(R)} {}
{q \neq 0} {}
{} {} {} {,} die Ordnung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (q)
}
{ \in} { \Z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei soll die Definition mit der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
für Elemente aus $R$ übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus
\maabb {} {Q(R) \setminus \{0\} } { \Z
} {}
definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $K(T)$ der
\definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{}
über $K$. Finde einen
\definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq }{ K(T)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q(R)
}
{ = }{ K(T)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R \cap K[T]
}
{ = }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q$. Charakterisiere die \definitionsverweis {endlich erzeugten}{}{} $R$-\definitionsverweis {Untermoduln}{}{} von $Q$. Auf welche Form kann man ein Erzeugendensystem bringen?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien $n$ und $k$ teilerfremde Zahlen und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq} {R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein kommutativer Ring. Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {Ringisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R/(n)
}
{ \cong} { (R_k)/(n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Zeige, dass dann auch die
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
$R_S$ normal ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{,}
sei
\mathl{f \in R}{} und sei ${\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{f \in {\mathfrak a}}{} genau dann ist, wenn für alle
\definitionsverweis {Lokalisierungen}{}{}
$R_{ {\mathfrak p} }$ gilt, dass
\mathl{f \in {\mathfrak a} R_{ {\mathfrak p} }}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
mit
\definitionsverweis {maximalem Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
\maabbeledisp {} {R \setminus \{0\} } { \N
} {f} {\operatorname{ord} \, (f)
} {,}
folgende Eigenschaften besitzt.
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (fg)
}
{ = }{ \operatorname{ord} \, (f) + \operatorname{ord} \, (g)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f+g)
}
{ \geq }{ \operatorname{min} \left( \operatorname{ord} \, (f) ,\, \operatorname{ord} \, (g) \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f)
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ R^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
{} {}
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