Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 21

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein quadratischer Zahlbereich mit der ${}\mathbb {Z}$- Basis ${}1$ und ${}\omega$ und einem von ${}0$ verschiedenen Ideal ${}{\mathfrak {a}}$. Zeige, dass

${\left\{s\mid {\text{Es gibt }}r+s\omega \in {\mathfrak {a}}\right\}}$

ein Ideal in ${}\mathbb {Z}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein quadratischer Zahlbereich und ${}f\in {\mathfrak {a}}$, wobei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal bezeichnet. Zeige, dass ${}N(f)$ ein Vielfaches der Norm von ${}{\mathfrak {a}}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein quadratischer Zahlbereich und ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$. Zeige

${}N({\mathfrak {a}})=\operatorname {GgT} ({\left\{N(f)\mid f\in {\mathfrak {a}}\right\}})\,.$

Aufgabe

Es sei ${}R=A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich und ${}f\in R$ mit ${}(f)\cap \mathbb {Z} =(N(f))$. Zeige auf zwei verschiedene Arten, dass es (mit der Notation des Beweises von Satz 21.1) eine ${}\mathbb {Z}$-Basis des Ideals ${}(f)$ gibt mit ${}\beta =1$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein quadratischer Zahlbereich und ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal in ${}R$ mit der Eigenschaft, dass die Norm von ${}{\mathfrak {a}}$ eine Primzahl ist. Zeige, dass ${}{\mathfrak {a}}$ ein maximales Ideal ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein quadratischer Zahlbereich und ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal in ${}R$. Zeige, dass es eine Primzahl ${}p$ derart gibt, das ${}{\mathfrak {m}}$ eine ${}\mathbb {Z}$- Basis der Form ${}p$ und ${}\alpha +p\omega$ oder der Form ${}p$ und ${}\alpha +\omega$ besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}A_{10}=\mathbb {Z} [{\sqrt {10}}]$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=10$. Bestimme gemäß Satz 21.1 eine ${}\mathbb {Z}$-Basis des Ideals ${}(3+4{\sqrt {10}})$ und bestimme damit die Norm des Ideals.

Aufgabe

Es sei ${}A_{-10}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-10}}]$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=-10$. Zeige, dass das Ideal ${}(6+5{\sqrt {-10}},3-2{\sqrt {10}})$ ein Hauptideal ist und gebe einen Erzeuger an.

Aufgabe

Es sei ${}A_{7}=\mathbb {Z} [{\sqrt {7}}]$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=7$. Bestimme gemäß Satz 21.1 eine ${}\mathbb {Z}$-Basis des Ideals ${}(3+2{\sqrt {7}})$ und bestimme damit die Norm des Ideals.

Aufgabe

Es sei ${}D=2,3\mod 4$ eine quadratfreie Zahl und ${}f=n+m{\sqrt {D}}$. Es sei ${}t$ der größte gemeinsame Teiler von ${}n$ und ${}m$. Bestimme ${}(f)\cap \mathbb {Z}$ und ${}\beta$ im Sinne von Satz 21.1.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Zeige unter Verwendung der Norm, dass jedes Element ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, eine Faktorisierung in irreduzible Elemente besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl mit ${}D=1\mod 4$. Es sei ${}{\mathfrak {a}}=(\omega )$ das Hauptideal im quadratischen Zahlbereich ${}A_{D}$. Zeige, dass der Durchschnitt ${}{\mathfrak {a}}\cap \mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ kein Hauptideal in ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ ist.

Aufgabe

Charakterisiere für den Ring

${}R=\mathbb {Z} [{\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}]\cong \mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}+Y+1)\,$

der Eisenstein-Zahlen die Primzahlen aus ${}\mathbb {Z}$, die in ${}R$ verzweigt sind, träge sind oder zerfallen.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und betrachte die quadratische Erweiterung ${}{\mathbb {Z} }[{\sqrt {p}}]$. Zeige, dass dies eine dichte Untergruppe der reellen Zahlen ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}H$ eine (additive) Untergruppe der reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass entweder ${}H={\mathbb {Z} }a$ mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl ${}a$ ist, oder aber ${}H$ dicht in ${}\mathbb {R}$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring. Zeige unter Verwendung des Lemmas von Zorn, dass es maximale Ideale in ${}R$ gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein quadratischer Zahlbereich und ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {b}}$ zwei von ${}0$ verschiedene Ideale. Zeige, dass die Norm von ${}{\mathfrak {b}}$ die Norm von ${}{\mathfrak {a}}$ teilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}D$ eine quadratfreie Zahl, sei ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ und sei ${}A_{D}$ der zugehörige Ganzheitsring. Zeige, dass für jede ungerade Primzahl ${}p$ ein Isomorphismus

$\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]/(p)\longrightarrow (A_{D})/(p)$

vorliegt. Zeige durch ein Beispiel, dass dies bei ${}p=2$ nicht sein muss.