Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 4/latex
\setcounter{section}{4}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme alle Lösungen der linearen Kongruenz
\mathl{12x=3 \mod 21}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme alle Lösungen der linearen Kongruenz
\mathl{13x=11 \mod 141}{}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Beweise durch Induktion den
kleinen Fermat,
also die Aussage, dass
\mathl{a^p -a}{} ein Vielfaches von $p$ für jede ganze Zahl $a$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den Rest von $27!$ modulo $31$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien $a,b \geq 2$ und sei $n=ab$.
a) Zeige, dass die beiden Polynome $X^a-1$ und $X^b-1$ Teiler des Polynoms $X^n-1$ sind.
b) Es sei $a \neq b$. Ist $(X^a-1)(X^b-1)$ stets ein Teiler von $X^n-1$?
c) Man gebe drei Primfaktoren von $2^{30} -1$ an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Finde mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus eine Darstellung der $1$ für die beiden Zahlen $19$ und $109$.
b) Nach dem Chinesischen Restsatz haben wir die Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(2071)
}
{ \cong} { \Z/(19) \times \Z/(109)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Welche Restklasse modulo $2071$ entspricht dem Restklassenpaar $(1 ,0)$ und welche dem Paar $( 0,1 )$?
c) Bestimme diejenige Restklasse modulo $2071$, die modulo $19$ den Rest $5$ hat und die modulo $109$ den Rest $10$ hat.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
(a) Bestimme für die Zahlen $3$, $11$ und $13$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(3) \times \Z/(11) \times \Z/(13)} { }
die Restetupel
$(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$
repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 2 \!\! \mod 3 , \, \, \, \, x = 5 \!\! \mod 11 \text{ und } x = 6 \!\! \mod 13} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
(a) Bestimme für die Zahlen $2$, $9$ und $25$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(2) \times \Z/(9) \times \Z/(25)} { }
die Restetupel
$(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$
repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 0 \!\! \mod 2 , \, \, \, \, x = 3 \!\! \mod 9 \text{ und } x = 5 \!\! \mod 25} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
(a) Bestimme für die Zahlen $4$, $5$ und $11$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(4) \times \Z/(5) \times \Z/(11)} { }
die Restetupel
$(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$
repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 3 \!\! \mod 4 , \, \, \, \, x = 2 \!\! \mod 5 \text{ und } x = 10 \!\! \mod 11} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $R$ und
\mathl{S_1 , \ldots , S_n}{}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Produktring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ =} {S_1 \times \cdots \times S_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {R} {S
} {}
dasselbe ist wie eine Familie von Ringhomomorphismen
\maabbdisp {\varphi_i} {R} {S_i
} {}
für
\mathl{i = 1 , \ldots , n}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe eine surjektive Abbildung \maabbdisp {\varphi} {\Z} { \Z/(3) } {} an, die mit der Multiplikation verträglich \zusatzklammer {also ein Monoidhomomorphismus} {} {} ist, aber kein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
der einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der positiven
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
enthalte
\zusatzklammer {dabei ist $p$ eine Primzahl} {} {.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {R} {R
} {f} {f^p
} {,}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
ist, den man den \stichwort {Frobeniushomomorphismus} {} nennt.
}
{} {Tipp: Benutze
Aufgabe 3.21.}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $p$ eine Primzahl und sei
\mathl{f(x)}{} ein Polynom mit Koeffizienten in
\mathl{\Z/(p)}{} vom Grad
\mathl{d \geq p}{.} Zeige, dass es ein Polynom $g(x)$ mit einem Grad $< p$ derart gibt, dass für alle Elemente
\mathl{a \in \Z/(p)}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(a)
}
{ =} {g(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $n_1, \ldots , n_k$ positive natürliche Zahlen und es sei
\mathdisp {G=\Z/(n_1) \times \Z/(n_2) \times \cdots \times \Z/(n_k)} { }
die
\definitionsverweis {Produktgruppe}{}{.
Bestimme den
\definitionsverweis {Exponenten}{}{}
von $G$.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe $S_n$ zu einer Menge mit $n$ Elementen.
a) Zeige, dass es in $S_n$ Elemente der \definitionsverweis {Ordnung}{}{} $n$ gibt.
b) Man gebe ein Beispiel für eine Permutationsgruppe $S_n$ und einem Element darin, dessen Ordnung größer als $n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass es in der
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{\Q/\Z}{} zu jedem
\mathl{n \in \N_+}{} Elemente gibt, deren
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
gleich $n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Für eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ bezeichne $T(G)$ die Menge aller Elemente mit endlicher \definitionsverweis {Ordnung}{}{} in $G$. Zeige folgende Aussagen. \aufzaehlungdrei{Ist $G$ abelsch, so ist $T(G)$ eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $G$. }{Ist $T(G)$ eine Untergruppe, so ist $T(G)$ ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} in $G$. }{Es gibt eine Gruppe $G$, für die $T(G)$ keine Untergruppe von $G$ ist. }
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Formuliere und beweise
\zusatzklammer {bekannte} {} {}
Teilbarkeitskriterien für Zahlen im Dezimalsystem für die Teiler
\mathl{k=2,3,5,9,11}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mathl{f(x)=x^7+2x^3 +3x+4 \in (\Z/(5))[x]}{.} Finde ein Polynom
\mathl{g(x) \in (\Z/(5))[x]}{} vom Grad $< 5$, das für alle Elemente aus
\mathl{\Z/(5)}{} mit
\mathl{f(x)}{} übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
(a) Bestimme für die Zahlen $2$, $3$ und $7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(2) \times \Z/(3) \times \Z/(7)} { }
die Restetupel
$(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$
repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 1 \!\! \mod 2 , \, \, \, \, x = 2 \!\! \mod 3 \text{ und } x = 2 \!\! \mod 7} { . }
}
{} {}
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