Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 7/latex

\setcounter{section}{7}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine ungerade \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Zeige, dass eine \definitionsverweis {primitive Einheit}{}{} von
\mathl{\Z/(p)}{} nie ein \definitionsverweis {quadratischer Rest}{}{} ist. Bestimme für die Primzahlen $\leq 20$, ob darin jeder nichtquadratische Rest primitiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde die kleinste Primzahl $p$ derart, dass es in
\mathl{\Z/(p)}{} ein Element $a$ gibt, das weder primitiv noch ein Quadrat noch gleich
\mathl{-1}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt
\mathl{\Z/(31)}{?}

Wie viele Elemente besitzt
\mathl{\Z/(31)}{,} die weder primitiv noch ein Quadrat sind?

Es sei $x$ ein primitives Element von
\mathl{\Z/(31)}{.} Liste explizit alle Elemente $x^{i}$ auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Welche Ziffern treten im Dezimalsystem als Endziffern von Quadratzahlen auf?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Quadrate in
\mathl{\Z/(35)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

\aufzaehlungfuenf{Finde die kleinste Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass es eine Zahl
\mathl{k<n}{} gibt, die selbst kein Quadrat ist, aber ein Quadratrest modulo $n$. }{Finde die kleinste Primzahl $p$ mit der Eigenschaft, dass es eine Zahl
\mathl{k<p}{} gibt, die selbst kein Quadrat ist, aber ein Quadratrest modulo $p$. }{Finde die größte Primzahl $p$ mit der Eigenschaft, dass die einzigen Quadratreste modulo $p$ die Quadratzahlen
\mathl{k<p}{} sind. }{Untersuche
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} {8,16,32 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in Hinblick auf die Eigenschaft, ob es neben den Quadraten noch weitere Quadratreste modulo $n$ gibt. }{Finde die größte \zusatzklammer {?} {} {} Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass die einzigen Quadratreste modulo $n$ die Quadratzahlen
\mathl{k<n}{} sind. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestätige Satz 6.6 für
\mathl{\Z/(25)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $n$ eine ungerade Zahl. Zeige, dass es in
\mathl{\Z/(n)}{} maximal
\mathl{{ \frac{ n+1 }{ 2 } }}{} Quadratreste gibt. Wie sieht dies bei $n$ gerade aus?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne zu
\mathl{p=13}{} und
\mathl{k=3}{} die Vielfachen
\mathl{ik \mod 13}{} für
\mathl{i=1 , \ldots , 6}{} und repräsentiere sie durch Zahlen zwischen $-6$ und $6$. Berechne damit die Vorzeichen
\mathl{\epsilon_i=\epsilon_i(3)}{} und bestätige das Gaußsche Vorzeichenlemma an diesem Beispiel.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne zu
\mathl{p=17}{} und
\mathl{k=5}{} die Vielfachen
\mathl{ik \mod 17}{} für
\mathl{i=1 , \ldots , 8}{} und repräsentiere sie durch Zahlen zwischen $-8$ und $8$. Berechne damit die Vorzeichen
\mathl{\epsilon_i=\epsilon_i(5)}{} und bestätige das Gaußsche Vorzeichenlemma an diesem Beispiel.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2 }
{ \neq} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass die Anzahl von $K$ ungerade ist, und dass es in $K$ genau
\mathl{{ \frac{ { \# \left( K \right) } +1 }{ 2 } }}{} Quadrate gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wie viele Lösungen hat die Gleichung
\mathdisp {x^5=a} { }
in
\mathl{\Z/(19)}{} für ein gegebenes
\mathl{a \in \Z/(19)}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Charakterisiere diejenigen positiven ungeraden Zahlen $n$ mit der Eigenschaft, dass bei dem in Aufgabe 1.25 beschriebenen Algorithmus genau zwei ungerade Zahlen auftreten (nämlich $n$ und $1$).

}
{} {}

Die Begriffe teilen, irreduzibel und prim machen in jedem \definitionsverweis {Monoid}{}{} Sinn \zusatzklammer {nicht nur im multiplikativen Monoid eines Ringes} {} {.} In den folgenden Aufgaben werden Teilbarkeitseigenschaften in einigen kommutativen Monoiden besprochen.


\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die natürlichen Zahlen $\N$ als kommutatives Monoid mit der Addition und neutralem Element $0$. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von diesem Monoid. Gilt die eindeutige Primfaktorzerlegung?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Menge $M$ derjenigen positiven Zahlen, die modulo $4$ den Rest $1$ haben. Zeige, dass $M$ mit der Multiplikation ein kommutatives Monoid ist. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von $M$. Zeige, dass in $M$ jedes Element Produkt von irreduziblen Elementen ist, aber keine eindeutige Primfaktorzerlegung in $M$ gilt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

Die folgende Aufgabe verallgemeinert das Eulersche Kriterium für beliebige Potenzreste.

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $p$ eine Primzahl und sei $e$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass ein Element
\mathl{k \in (\Z/(p))^ \times}{} genau dann eine $e$-te Wurzel besitzt, wenn
\mathl{k^{\frac{p-1}{e} }=1}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Berechne zu
\mathl{p=23}{} und
\mathl{k=8}{} die Vielfachen
\mathl{ik \mod 23}{} für
\mathl{i=1 , \ldots , 11}{} und repräsentiere sie durch Zahlen zwischen $-11$ und $11$. Berechne damit die Vorzeichen
\mathl{\epsilon_i=\epsilon_i(8)}{} und bestätige das Gaußsche Vorzeichenlemma an diesem Beispiel.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Finde die Lösungen der Kongruenz
\mathdisp {5x^2+ 5x+4 =0 \mod 91} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass im Restklassenring $\Z/(n)$ die Äquivalenz gilt, dass zwei Elemente $a,b$ genau dann \definitionsverweis {assoziiert}{}{} sind, wenn
\mathl{(a)=(b)}{} ist.

Finde eine Charakterisierung für diese Äquivalenzrelation, die auf den Primfaktorzerlegungen von $n,a$ und $b$ aufbaut.

}
{} {}

Die folgende Aufgabe setzt eine gewisse Routine im Umgang mit kommutativen Ringen voraus.


\inputaufgabe
{4}
{

Man gebe ein Beispiel von zwei Elementen $a$ und $b$ eines \definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{} derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a) }
{ = }{(b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, dass aber $a$ und $b$ nicht \definitionsverweis {assoziiert}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Betrachte die Menge $G$ der positiven geraden Zahlen zusammen mit $1$. Zeige, dass $G$ ein kommutatives Monoid ist. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von $G$. Zeige, dass in $G$ jedes Element Produkt von irreduziblen Elementen ist, aber keine eindeutige Primfaktorzerlegung in $G$ gilt.

}
{} {}