Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 8/latex

\setcounter{section}{8}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne für
\mathl{p=17}{} und
\mathl{k=5}{} den Ausdruck
\mathdisp {S(k,p)= \sum_{i=1}^ \frac{p-1}{2} \left \lfloor \frac{ki}{p} \right \rfloor} { . }
Berechne damit
\mathl{\left(\frac{k}{p}\right)}{} mit Hilfe von Lemma 8.1.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Zusätze, ob $17$ ein quadratischer Rest modulo $19$ ist, oder nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Zusätze, ob $23$ ein quadratischer Rest modulo $73$ ist, oder nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Zusätze, ob $50$ ein quadratischer Rest modulo $83$ ist, oder nicht.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
\mathdisp {\left( \frac{ 563 }{ 1231 }\right)} { . }
Bemerkung: $563$ und $1231$ sind Primzahlen.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

\mathdisp {\left(\frac{2333}{3673}\right)} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

\mathdisp {\left(\frac{1489}{2437}\right)} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass $-3$ genau dann ein Quadratrest modulo einer \definitionsverweis {Primzahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ \neq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{0,1 \mod 3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beschreibe mittels geeigneter Kongruenzbedingungen diejenigen ungeraden Primzahlen $p$ mit der Eigenschaft, dass $7$ ein Quadratrest modulo $p$ ist.

Gibt es unendlich viele solche Primzahlen?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel an, wo das Jacobi-Symbol den Wert $1$ hat, aber kein Quadratrest vorliegt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Suche für die folgenden zusammengesetzten Zahlen $n$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl $a$ derart, dass
\mathl{a^{\frac{n-1}{2} } \neq \left(\frac{a}{n}\right)}{} in $\Z/(n)$ gilt.

a) $n = 49$.

b) $n = 75$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde die Lösungen der Kongruenz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 6x^2+ 4x+1 }
{ =} {0 \mod 35 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige für eine positive ungerade Zahl $n$ die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( \frac{ -1 }{ n }\right) }
{ =} { (-1)^{(n-1)/2} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die Menge $M$ der Reste modulo $40$ mit der Eigenschaft, dass für jede ungerade Primzahl $p$ gilt: $10$ ist ein Quadratrest modulo $p$ genau dann, wenn
\mathl{p \mod 40}{} zu $M$ gehört.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Finde eine ungerade Primzahl $p$ mit der Eigenschaft, dass alle Zahlen
\mathl{a \leq 10}{} Quadratreste modulo $p$ sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

\mathdisp {\left( \frac{ 337 }{ 1339 }\right)} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige für eine positive ungerade Zahl $n$ die Gleichung
\mathdisp {\left(\frac{2}{n}\right) = (-1)^{(n^2-1)/8}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige für zwei ungerade positive Zahlen $n$ und $m$ die Beziehung
\mathdisp {\left(\frac{m}{n}\right)\left(\frac{n}{m}\right) =(-1)^{\frac{n-1}{2}\frac{m-1}{2} }} { . }

}
{} {}