Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 9/latex
\setcounter{section}{9}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine Primzahl $p$ höchstens eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass eine ganze Zahl $n$ genau dann die Differenz zweier Quadratzahlen ist, wenn der Exponent von $2$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ gleich $0$ oder $\geq 2$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für eine oder mehrere Gaußsche Zahlen in \definitionsverweis {diesem Diagramm}{}{} (oder \definitionsverweis {diesem}{}{)} die Primfaktorzerlegung und trage das Ergebnis (mit Begründung) in den vorgesehenen Link ein. Man beschränke sich dabei auf Zahlen unterhalb der Hauptdiagonalen.
}
{} {}
Die Gitterpunkte im farbig hinterlegten Bereich und entlang seines Randes sind als Link anklickbar.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme in $\Z [ { \mathrm i} ]$ die Primfaktorzerlegung von $8- { \mathrm i}$. Begründe, warum die Faktoren prim sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit endlich vielen Elementen. Zeige, dass $R$ genau dann ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist, wenn $R$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die komplexen Zahlen ${\mathbb C}$ die Restklassendarstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb C}
}
{ \cong} { \R[X]/ (X^2+1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Ring der Gaußschen Zahlen $\Z[ { \mathrm i} ]$ die Restklassendarstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z[{ \mathrm i}]
}
{ \cong} { \Z[X]/ (X^2+1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{\Z[{ \mathrm i} ]/(n)}{} genau $n^2$ Elemente besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathl{{\mathfrak a}}{} ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{S=R/{\mathfrak a}}{.} Zu einem Ideal
\mathl{I \subseteq R}{} welches
\mathl{{\mathfrak a}}{} enthält, sei
\mathl{I^\prime=I R/{\mathfrak a}}{} das zugehörige Ideal in $S$. Zeige, dass es eine kanonische
\definitionsverweis {Ringisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R /I
}
{ \cong} { S/I^\prime
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme mit Hilfe von
Bemerkung 9.4
eine Quadratwurzel von $-1$ in
\mathl{\Z/(41)}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme für die Zahlen $n$ zwischen
\mathl{155}{} und
\mathl{159}{,} ob $n$ die Summe von zwei ganzzahligen Quadraten ist. Man gebe alle möglichen Darstellungen an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Finde für alle Zehnerpotenzen
\mathl{\geq 10}{} eine Darstellung als Summe von zwei positiven Quadraten.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $n$ eine natürliche Zahl, in deren Primfaktorzerlegung $r$ Faktoren vorkommen. Wie viele Darstellungen als Summe von zwei Quadratzahlen besitzt $n$ maximal?
}
{} {}
\inputaufgabe
{7 (1+1+1+4)}
{
Für einen Körper $K$ bezeichnet
\mathl{K^{\times 2} \subseteq K^\times}{} die Untergruppe aller Quadrate. Bestimme für die folgenden Körper die Restklassengruppe
\mathdisp {K^\times/K^{\times 2}} { . }
\aufzaehlungvier{$K$ ist ein endlicher Körper.
}{
\mathl{K=\mathbb R}{.}
}{
\mathl{K=\mathbb C}{.}
}{
\mathl{K=\mathbb Q}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathl{{\mathfrak a}}{} ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ =} { R/{\mathfrak a}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Ideale von $S$ eindeutig denjenigen Idealen von $R$ entsprechen, die ${\mathfrak a}$ umfassen.
}
{} {}
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