Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Liste der Hauptsätze

???: Prim und irreduzibel in Integritätsbereichen

In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.

 

???: Euklidischer Bereich ist ...

Ein euklidischer Bereich ist ein Hauptidealbereich.

 

???: Lemma von Bezout (Hauptidealbereich)

Es sei ${}R$ ein Hauptidealring. Dann gilt:

Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler ${}d$, und dieser lässt sich als Linearkombination der ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ darstellen, d.h. es gibt Elemente ${}r_{1},\ldots ,r_{n}\in R$ mit ${}r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}+\cdots +r_{n}a_{n}=d$.

Insbesondere besitzen teilerfremde Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ eine Darstellung der ${}1$.

 

???: Lemma von Euklid (Hauptidealbereich)

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}a,b,c\in R$. Es seien ${}a$ und ${}b$ teilerfremd und ${}a$ teile das Produkt ${}bc$. Dann teilt ${}a$ den Faktor ${}c$.

 

???: Prim und irreduzibel (Hauptidealbereich)

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann prim,

wenn es irreduzibel ist.

 

???: Hauptidealbereich ist ...

In einem Hauptidealbereich lässt sich jede Nichteinheit ${}a\neq 0$ darstellen als Produkt von Primelementen. Diese Darstellung ist eindeutig bis auf Reihenfolge und Assoziiertheit. Wählt man aus jeder Assoziiertheitsklasse von Primelementen einen festen Repräsentanten ${}p$, so gibt es eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Darstellung ${}a=u\cdot p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$, wobei ${}u$ eine Einheit ist und die ${}p_{i}$ Repräsentanten sind.

 

???: Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie

Jede positive natürliche Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.

 

???: Einheiten modulo n

Genau dann ist ${}a\in \mathbb {Z}$ eine Einheit modulo ${}n$ (d.h. ${}a$ repräsentiert eine Einheit in $\mathbb {Z} /(n)$), wenn ${}a$ und ${}n$ teilerfremd sind.

 

???: Restklassenkörper von ${}\mathbb {Z}$

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$. Der Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(n)$ ist genau dann ein Körper,

wenn ${}n$ eine Primzahl ist.

 

???: Kleiner Fermat

Für eine Primzahl ${}p$ und eine beliebige ganze Zahl ${}a$ gilt

${}a^{p}\equiv a\mod p\,.$

Anders ausgedrückt: ${}a^{p}-a$ ist durch ${}p$ teilbar.

 

???: Der Satz von Wilson

Es sei ${}p$ eine Primzahl.

Dann ist ${}(p-1)!=-1\!\!\!\mod p$.

 

???: Der chinesische Restsatz

Es sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung

${}n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\,$

(die ${}p_{i}$ seien also verschieden und ${}r_{i}\geq 1$).

Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen ${}\mathbb {Z} /(n)\rightarrow \mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})$ einen Ringisomorphismus

${}\mathbb {Z} /(n)\cong \mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\times \mathbb {Z} /(p_{2}^{r_{2}})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\,.$

Zu gegebenen ganzen Zahlen ${}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k})$ gibt es also genau eine natürliche Zahl ${}a<n$, die die simultanen Kongruenzen

$a=a_{1}\mod p_{1}^{r_{1}},\,\,a=a_{2}\mod p_{2}^{r_{2}},\,\ldots ,\,\,a=a_{k}\mod p_{k}^{r_{k}}$

löst.

 

???: Endliche multiplikative Untergruppe in einem Körper

Es sei ${}U\subseteq K^{\times }$ eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers ${}K$.

Dann ist ${}U$ zyklisch.

 

???: Einheitengruppe in Restklassenkörpern von ${}\mathbb {Z}$

Es sei ${}p$ eine Primzahl.

Dann ist die Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ zyklisch mit der Ordnung ${}p-1$.

Es gibt also Elemente ${}g$ mit der Eigenschaft, dass die Potenzen ${}g^{i}$, ${}i=0,1,\ldots ,p-2$, alle Einheiten durchlaufen.

 

???: Einheitengruppe modulo Primzahlpotenz

Es sei ${}p\geq 3$ eine Primzahl und ${}r\geq 1$. Dann ist die Einheitengruppe

${\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }$

des Restklassenrings ${}\mathbb {Z} /(p^{r})$ zyklisch.

 

???: Restklassenringe von ${}\mathbb {Z}$ mit zyklischer Einheitengruppe

Die Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ ist genau dann zyklisch, wenn

${}n=1,2,4,p^{s},2p^{s}\,$

ist, wobei ${}p$ eine ungerade Primzahl und ${}s\geq 1$ ist.

 

???: Wann ist ${}-1$ ein Quadrat?

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Dann gelten folgende Aussagen.

Für ${}p=2$ ist ${}-1=1$ ein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(2)$.

Für ${}p=1\!\!\!\!\mod 4$ ist ${}-1$ ein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$.

Für ${}p=3\!\!\!\!\mod 4$ ist ${}-1$ kein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$.

 

???: Anzahl von Quadratresten

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl. Dann gibt es ${}{\frac {p+1}{2}}$ quadratische Reste modulo ${}p$ und ${}{\frac {p-1}{2}}$ nichtquadratische Reste modulo ${}p$.

 

???: Euler-Kriterium

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl. Dann gilt für eine zu ${}p$ teilerfremde Zahl ${}k$ die Gleichheit

$\left({\frac {k}{p}}\right)=k^{\frac {p-1}{2}}\mod p.$

 

???: Quadratisches Reziprozitätsgesetz

Es seien ${}p$ und ${}q$ verschiedene ungerade Primzahlen. Dann gilt:

${}\left({\frac {p}{q}}\right)\cdot \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}}={\begin{cases}-1\,,{\text{ wenn }}p=q=3\mod 4\,,\\1\,,{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$

 

???: 1. Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz

Für eine ungerade Primzahl ${}p$ gilt:

${}\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}={\begin{cases}1\,,{\text{ falls }}p=1\mod 4\,,\\-1\,,{\text{ sonst }}{\text{(also bei }}p=3\mod 4{\mbox{)}}\,.\end{cases}}\,$

 

???: 2. Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz

Für eine ungerade Primzahl ${}p$ gilt:

${}\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}=\left\{{\begin{matrix}1\,,&{\mbox{falls}}&p=\pm 1\mod 8\,,\\-1&{\mbox{sonst}}&{\mbox{(also }}p=\pm 3\mod 8{\mbox{)}}&\,.\end{matrix}}\right.\,$

 

???: Primelemente in Gaußschen Zahlen

Es sei ${}p$ ein ungerade Primzahl. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}p$ ist die Summe von zwei Quadraten, ${}p=x^{2}+y^{2}$ mit ${}x,y\in \mathbb {Z}$.
2. ${}p$ ist die Norm eines Elementes aus ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.
3. ${}p$ ist zerlegbar (nicht prim) in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.
4. ${}-1$ ist ein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$.
5. Es ist ${}p=1\mod 4$.

 

???: Charakterisierung von Quadratsummen

Es sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl. Wir schreiben ${}n=r^{2}m$, wobei jeder Primfaktor von ${}m$ nur einfach vorkomme. Dann ist ${}n$ die Summe von zwei Quadraten genau dann, wenn in der Primfaktorzerlegung von ${}m$ nur ${}2$ und Primzahlen vorkommen, die modulo ${}4$ den Rest ${}1$ haben.

 

???: Charakterisierung von pythagoreischen Tripel

Es sei ${}(x,y,z)$ ein pythagoreisches Tripel mit ${}y$ gerade und mit ${}z\neq -x$.

Dann gibt es eindeutig bestimmte ganze teilerfremde Zahlen ${}(u,v)$ mit ${}v>0$ und ${}a\in \mathbb {Z}$ und mit

$x=a(v^{2}-u^{2}),\,y=a(2uv),\,z=a(u^{2}+v^{2}).$

Das pythagoreische Tripel ist primitiv genau dann, wenn ${}a$ eine Einheit ist und ${}u$ und ${}v$ nicht beide ungerade sind.

 

???: Satz von Fermat-Euler

Die diophantische Gleichung

${}x^{4}+y^{4}=z^{2}\,$

hat keine ganzzahlige nichttriviale Lösung.

 

???: Satz von Euklid (Primzahlen)

Es gibt unendlich viele Primzahlen.

 

???: Satz von Euler über Primzahlkehrwerte

Die Reihe der Kehrwerte der Primzahlen, also

$\sum _{p\in {\mathbb {P} }}{\frac {1}{p}}$

divergiert.

 

???: Der Primzahlsatz

Es gilt die asymptotische Abschätzung

${}\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}\,.$

Das heißt

${}\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{\frac {x}{\ln(x)}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\ln(x)}{x}}=1\,.$

 

???: Satz von Dirichlet über arithmetische Progressionen

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl und ${}a$ eine zu ${}n$ teilerfremde Zahl. Dann gibt es unendlich viele Primzahlen, die modulo ${}n$ den Rest ${}a$ haben.

 

???: Satz von Green-Tao

Zu jedem ${}k$ gibt es arithmetische Progressionen der Länge ${}k$, die nur aus Primzahlen bestehen.

 

???: Ungleichungen von Tschebyschow

Es gibt Konstanten ${}C>c>0$ derart, dass die Primzahlfunktion ${}\pi (x)$ für alle ${}x$ den Abschätzungen

${}c{\frac {x}{\ln(x)}}\leq \pi (x)\leq C{\frac {x}{\ln(x)}}\,$

genügt.

 

???: Bertrandsches Postulat

Für jede positive natürliche Zahl ${}n$ gibt es eine Primzahl zwischen ${}n+1$ und ${}2n$.

 

???: Vollkommene Zahlen und Mersenne-Primzahlen

Eine gerade Zahl ${}n$ ist genau dann vollkommen, wenn ${}n=2^{k-1}(2^{k}-1)$ ist mit ${}2^{k}-1$ prim.

 

???: Charakterisierung von Carmichael-Zahlen

Eine natürliche nicht-prime Zahl ${}n\geq 2$ ist genau dann eine Carmichael-Zahl, wenn jeder Primteiler ${}p$ von ${}n$ einfach ist und ${}p-1$ die Zahl ${}n-1$ teilt.

 

???: Norm und Spur im Minimalpolynom

Sei ${}K\subseteq L=K[f]$ eine einfache endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$. Dann hat das Minimalpolynom ${}P$ von ${}f$ die Gestalt

${}P=X^{n}-S(f)X^{n-1}+\cdots +(-1)^{n}N(f)\,.$

 

???: Transformation der Diskriminante

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und seien ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ und ${}c_{1},\ldots ,c_{n}$ ${}K$- Basen von ${}L$. Der Basiswechsel werde durch ${}c=Tb$ mit der Übergangsmatrix ${}T={\left(t_{ij}\right)}_{ij}$ beschrieben. Dann gilt für die Diskriminanten die Beziehung

${}\triangle (c_{1},\ldots ,c_{n})=(\det(T))^{2}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})\,.$

 

???: Charakterisierung von Primidealen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Ideal in ${}R$.

Dann ist ${}{\mathfrak {p}}$ genau dann ein Primideal, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich ist.

 

???: Charakterisierung vom maximalen Idealen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {m}}$ ein Ideal in ${}R$.

Dann ist ${}{\mathfrak {m}}$ genau dann ein maximales Ideal, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {m}}$ ein Körper ist.

 

???: Charakterisierung von ganzen Elementen

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Für ein Element ${}x\in S$ sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}x$ ist ganz über ${}R$.
2. Es gibt eine ${}R$-Unteralgebra ${}T$ von ${}S$ mit ${}x\in T$ und die ein endlicher ${}R$-Modul ist.
3. Es gibt einen endlichen ${}R$-Untermodul ${}M$ von ${}S$, der einen Nichtnullteiler aus ${}S$ enthält, mit ${}xM\subseteq M$.

 

???: Normalität faktorieller Bereiche

Es sei ${}R$ ein faktorieller Integritätsbereich.

Dann ist ${}R$ normal.

 

???: Wurzeln aus Zahlen

Es sei ${}n=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$ die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl ${}n$. Es sei ${}k$ eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten ${}\alpha _{i}$ ein Vielfaches von ${}k$ sind. Dann ist die reelle Zahl

$n^{\frac {1}{k}}$

irrational.

 

???: Ganzheitsring (Zahlbereich) ist ...

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich.

Dann ist ${}R$ ein normaler Integritätsbereich.

 

???: Ideal in Ganzheitsring enthält ...

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich.

Dann enthält jedes von ${}0$ verschiedene Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ eine Zahl ${}m\in \mathbb {Z}$ mit ${}m\neq 0$.

 

???: Charakterisierung von ganz

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}f\in Q(R)=L$. Dann ist ${}f$ genau dann ganz über ${}\mathbb {Z}$, wenn die Koeffizienten des Minimalpolynoms von ${}f$ über ${}\mathbb {Q}$ alle ganzzahlig sind.

 

???: Gruppenstruktur von Idealen in Zahlbereichen

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$.

Dann ist ${}{\mathfrak {a}}$ eine freie abelsche Gruppe vom Rang ${}n$,

d.h. es gibt Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ mit

${}{\mathfrak {a}}=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,,$

wobei die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes aus ${}{\mathfrak {a}}$ eindeutig bestimmt sind.

 

???: Additive Struktur der Zahlbereiche

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich.

Dann ist ${}R$ eine freie abelsche Gruppe vom Rang ${}n$,

d.h. es gibt Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in R$ mit

${}R=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,$

derart, dass die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes eindeutig bestimmt sind.

 

???: Zahlbereiche sind ...

Jeder Zahlbereich ist ein noetherscher Ring.

 

???: Restklassenring von Zahlbereich

Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem Zahlbereich ${}R$

ist der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ endlich.

 

???: Primideale in Zahlbereichen

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Dann ist jedes von ${}0$ verschiedene Primideal von ${}R$ bereits ein maximales Ideal.

 

???: Hauptidealbereiche sind ...

Hauptidealbereiche sind Dedekindbereiche.

 

???: Hauptsatz für endliche Körper

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}e\in \mathbb {N} _{+}$.

Dann gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper mit ${}q=p^{e}$ Elementen.

 

???: Struktur quadratischer Zahlbereiche

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann gilt

$A_{D}={\mathbb {Z} }[{\sqrt {D}}],{\text{ wenn }}D=2,3\mod 4$

und

$A_{D}={\mathbb {Z} }[{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}],{\text{ wenn }}D=1\mod 4.$

 

???: Satz über die Diskriminante quadratischer Zahlbereiche

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann ist die Diskriminante von ${}A_{D}$ gleich

$\triangle =4D,{\text{ wenn }}D=2,3\mod 4$

und

$\triangle =D,{\text{ wenn }}D=1\mod 4.$

 

???: Primzahlen aus ${}\mathbb {Z}$ in quadratischen Zahlbereichen

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich.

Dann gibt es für eine Primzahl ${}p$ die folgenden drei Möglichkeiten:

1. ${}p$ ist prim in ${}A_{D}$.
2. Es gibt ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}A_{D}$ derart, dass ${}(p)={\mathfrak {p}}^{2}$ ist.
3. Es gibt ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}A_{D}$ derart, dass ${}(p)={\mathfrak {p}}{\overline {\mathfrak {p}}}$ mit ${}{\mathfrak {p}}\neq {\overline {\mathfrak {p}}}$ ist.

 

???: Norm von Element und Ideal

Es sei ${}A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich und sei ${}f\neq 0$ ein Element. Setze ${}{\mathfrak {a}}=(f)$. Dann gilt ${}N({\mathfrak {a}})=\mid \!N(f)\!\mid$.

 

???: Norm und konjugiertes Ideal

Es sei ${}A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}A_{D}$.

Dann gilt

${}{\mathfrak {a}}{\overline {\mathfrak {a}}}=(N({\mathfrak {a}}))\,.$

 

???: Durchschnitt von Lokalisierungen

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$.

Dann gilt

${}R=\bigcap _{{\mathfrak {m}}{\text{ maximal }}}R_{\mathfrak {m}}\,,$

wobei der Durchschnitt über alle maximale Ideale läuft und in ${}Q(R)$ genommen wird.

 

???: Charakterisierungssatz für diskrete Bewertungsringe

Es sei ${}R$ ein noetherscher lokaler Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale ${}0\subset {\mathfrak {m}}$ gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist ein diskreter Bewertungsring.
2. ${}R$ ist ein Hauptidealbereich.
3. ${}R$ ist faktoriell.
4. ${}R$ ist normal.
5. ${}{\mathfrak {m}}$ ist ein Hauptideal.

 

???: Lokalisierungen von Dedekindbereichen

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und sei ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal in ${}R$.

Dann ist die Lokalisierung

$R_{\mathfrak {m}}$

ein diskreter Bewertungsring.

 

???: Ideale und effektive Divisoren

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich.

Dann sind die Zuordnungen

${\mathfrak {a}}\longmapsto \operatorname {div} ({\mathfrak {a}}){\text{ und }}D\longmapsto \operatorname {Id} (D)$

zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der von ${}0$ verschiedenen Ideale und der Menge der effektiven Divisoren.

Diese Bijektion übersetzt das Produkt von Idealen in die Summe von Divisoren.

 

???: Idealzerlegungssatz von Dedekind

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal in ${}R$.

Dann gibt es eine Produktdarstellung

${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,$

mit (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmten Primidealen ${}{\mathfrak {p}}_{i}\neq 0$ aus ${}R$ und eindeutig bestimmten Exponenten ${}r_{i}$, ${}i=1,\ldots ,k$.

 

???: Darstellung von Hauptidealen in Zahlbereichen

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$.

Dann gibt es eine Produktdarstellung für das Hauptideal

${}(f)={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,$

mit (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmten Primidealen ${}{\mathfrak {p}}_{i}\neq 0$ aus ${}R$ und eindeutig bestimmten Exponenten ${}r_{i}$, ${}i=1,\ldots ,k$.

 

???: Divisoren und gebrochene Ideale

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es sei ${}{\mathfrak {f}}$ ein gebrochenes Ideal mit einer Darstellung ${}{\mathfrak {f}}={\frac {\mathfrak {a}}{h}}$ mit ${}h\in R$ und einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$. Dann ist

   ${}\operatorname {div} {\left({\mathfrak {f}}\right)}=\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}-\operatorname {div} {\left(h\right)}\,.$

2. Zu einem Divisor ${}D$ gibt es ein ${}h\in R$ derart, dass ${}D+\operatorname {div} {\left(h\right)}$ effektiv ist.
3. Zu einem Divisor ${}D$ mit ${}E=D+\operatorname {div} {\left(h\right)}$ effektiv ist

   ${}\operatorname {Id} (D)={\frac {\operatorname {Id} (E)}{h}}\,.$

 

???: Charakterisierung von faktoriell mit Divisorenklassengruppe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und es bezeichne ${}\operatorname {DKG} {\left(R\right)}$ die Divisorenklassengruppe von ${}R$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist ein Hauptidealbereich.
2. ${}R$ ist faktoriell.
3. Es ist ${}\operatorname {DKG} {\left(R\right)}=0$.

 

???: Charakterisierung von normeuklidischen imaginär-quadratischen Zahlbereichen

Es sei ${}D<0$ quadratfrei und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}A_{D}$ ist euklidisch.
2. ${}A_{D}$ ist normeuklidisch.
3. Es ist ${}D=-1,-2,-3,-7,-11$.

 

???: Gitterpunktsatz von Minkowski

Es sei ${}\Gamma$ ein Gitter im ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit Grundmasche ${}{\mathfrak {M}}$. Es sei ${}T$ eine konvexe, kompakte, zentralsymmetrische Teilmenge in ${}\mathbb {R} ^{n}$, die zusätzlich die Volumenbedingung

${}\operatorname {Vol} (T)\geq 2^{n}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}})\,$

erfülle. Dann enthält ${}T$ mindestens einen von ${}0$ verschiedenen Gitterpunkt.

 

???: Klassenzahl von quadratischen Zahlbereichen

Sei ${}R=A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich. Dann ist die Divisorenklassengruppe von ${}R$ eine endliche Gruppe.

 

???: Potenz von Idealen in quadratischen Zahlbereichen

Sei ${}R=A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal in ${}R$. Dann gibt es ein ${}n\geq 1$ derart, dass ${}{\mathfrak {a}}^{n}$ ein Hauptideal ist.

 

???: Faktorialitätskriterium für quadratische Zahlbereiche

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und sei ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante ${}\triangle$. Es sei vorausgesetzt, dass jede Primzahl ${}p$ mit

${}p\leq {\begin{cases}{\frac {2{\sqrt {|\triangle |}}}{\pi }}&{\mbox{ bei }}\,D<0\,,\\{\frac {\sqrt {|\triangle |}}{2}}&{\mbox{ bei }}\,D>0\,.\end{cases}}\,$

in ${}A_{D}$ eine Primfaktorzerlegung besitzt. Dann ist ${}A_{D}$ faktoriell.

 

???: Norm auf einem Ideal als quadratische Form

Es sei ${}R$ ein quadratischer Zahlbereich und es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$.

Dann wird durch ${}f\mapsto {\frac {N(f)}{N({\mathfrak {a}})}}$ eine binäre quadratische Form auf ${}{\mathfrak {a}}$ definiert, die einfach ist und deren Diskriminante gleich der Diskriminante des Zahlbereiches ${}R$ ist.

 

???: Korrespondenz zwischen Idealen und quadratischen Formen

Es sei ${}R$ der quadratische Zahlbereich zur quadratfreien Zahl ${}D\neq 0,1$ mit Diskriminante ${}\triangle =\triangle (R)$.

Dann ist die Abbildung

${\mathfrak {a}}\longmapsto {\left({\mathfrak {a}},{\frac {N(-)}{N({\mathfrak {a}})}}\right)},$

die einem (orientierten) Ideal ${}\neq 0$ die durch die vereinfachte Norm gegebe binäre quadratische Form zuordnet, mit der strikten Äquivalenz von Idealen bzw. Formen verträglich, und stiftet eine Bijektion zwischen den strikten Idealklassen und den strikten Äquivalenzklassen von einfachen quadratischen Formen mit Diskriminante ${}\triangle$.