Kurs Diskussion:Mathematik für Elektrotechnik/Grundlagen

Ungereimtheiten bei Mengen

Moin MovGP0, in Deinem Abscnitt „Äquivalenz und Abzählbarkeit von Mengen“ ist der Begriff und der geklammerte Zusatz „... sind äquivalent (gleich mächtig), wenn ...“ sehr heikel. Einmal weil eine Bijektion die Gleichmächtigkeit voraussetzt, zum Anderen weil „valenz“ Wertangaben impliziert. Mengen haben aber keine Werte, sondern sie enthalten manchmal solche.

Deshalb auch der Unterschied zwischen Äquivalenz- und algebraischen Umformungen. Wegen der von Dir verwendeten Mengendefinition Cantors und der fehlenden Axiomatik solltest Du vielleicht den Begriff „Gleichheit“ verwenden. Damit sparst Du die Angabe, denn als allgemein anerkannt, also ohne weitere (erläuternde) Zusätze verwendbar, gilt die ZF-Axiomatik, die ohne den Begriff „Äquivalenz“ ist. Du kannst dann „Gleichheit“ mit dem zf-EXT begründen. Für die Gleichheit leerer Mengen solltest Du dann noch die Potenzmenge definieren und heranziehen.

Auch der Punkt Rechenregeln ist nicht so ganz astrein. Mit Mengen kann nicht gerechnet werden. Die fragmentarisch aufgeführten Regeln sollten besser als Mengenalgebra bezeichnet werden.

Bei der Definition der Komplementmenge ist Dir ein Fehler unterlaufen, es handelt sich dabei nicht einfach um die Differenzmenge (siehe hier). Das gilt unabhängig von der Benutzung einer Grund- oder Bezugsmenge, denn das Ergebnis ist ein anderes.

Ich weiss, dass der Kurs noch nicht fertig ist, aber wenn Du Quantoren anführtst, dann solltest Du auch die Normalformen sowohl der Aussage- als und insbesondere auch der Prädikatenlogik anführen. Nur ein WP-Verweis ist etwas wenig.

Gruß --Heuerli 20:05, 28. Jan. 2008 (CET)

1. Wenn das "äquivalent" nicht immer stimmt muss man es wohl klammern und stattdessen das gleich mächtig aus der Klammer nehmen. Oder man lässt es ganz weg.
2. Die Bijektion setzt also die Gleichmächtigkeit voraus, die Gleichmächtigkeit jedoch keine Bijektion? Kannst du mir ein Beispiel nennen bei dem zwei Mengen gleich mächtig sind und keine bijektive Abbildung möglich ist?
3. Die Überschift habe ich in "Mengenalgebra" umbenannt. Der Einwand war verständlich: gerechnet wird mit der Algebra, welche auf Mengen angewandt wird.
4. Die Differenzmenge zur Definition der Komplementärmenge habe ich erst herangezogen, nachdem ich A als Untermenge von M definiert habe. In diesem Spezialfall sind das Komplement von A in Bezug auf M und die Differenz aus M und A gleich.
5. Den Artikel kann man gerne so erweitern, dass er Aussage und Prädikatenlogik ausreichend erläutert. Ich wollte darauf aber erst später näher eingehen.

MovGP0 23:13, 30. Jan. 2008 (CET)

Ich versuche mal, auf die genannten Punkte einzugehen.

zu 2:

• Es ist nicht die Frage, ob eine Bijektion möglich ist, sondern ob sie vorhanden ist. Möglich ist sie dann und nur dann, wenn die Beträge (Mächtigkeiten) der beiden Mengen gleich sind. Nicht die Mengen machen die Abbildung sondern die (Abbildungs)Vorschrift. Als Beispiel kannst Du $y=f(x)=x^{2}\$ nehmen. die Abbildung von x ist injektiv in $\mathbb {R} \$, aber nicht bijektiv. Wenn Du $y=f(x)=x^{2}-1\$ nimmst, ist die Abbildung von x surjektiv in $\mathbb {R} \$, aber wegen der zwei Nullstellen nicht injektiv.

zu 3:

• Überschrift ok. Obwohl mit Algebren eigentlich überhaupt gerechnet wird, das macht nur die Arithmetik; mit der vorausgesetzten Agebra.

zu 4:

• Es funktioniert so nicht. Mengenoperationen sind stets bedingungslos. Wenn Du mit $M=\{1\ 2\ 3\}\,,A=\{2\ 4\}\$ das Komplement $A_{M}^{C}\$ bildest, kommt einfach $\{\}\$ raus.

Bei der Verwendung des Begriffs Definition in Zusammenhang mit Operationen wäre ich etwas vorsichtiger. Oft genügt es, ein oder zwei Beispiele anzuführen. Aber das ist eine rein subjektive Feststellung.

Noch ein Hinweis zu Deinem Abschnitt „Mächtigkeit und Abzählbarkeit von Mengen“:

Mengen sind niemals äquivaqlent. Es existiert keine Trichotomie. Nur Ihre Beträge unterliegen der Trichotomie. Endlich ist eine Menge M, wenn $|M|<|\mathbb {N} |\$. Abzählbar ist eine Menge, wenn (mindestens) eine Bijektion auf $\mathbb {N} \$ existiert. Überabzählbar ist jede Menge M mit der Mächtigkeit $|M|=2^{\aleph _{0}}\$. Mit äußerster Vorsicht sollte aber $2^{\aleph _{0}}=2^{|\mathbb {N} |}=2^{\omega }\$ verwendet werden. Dann ist Cantors Diagonalverfahren kaum noch zu halten. Eine Begründung ist hier gegeben.

Dein Kurs ist immer noch recht schwierig zu finden. Das ist schade, denn er ist so gut angelegt und verständlich. Ihn nur den Elektrotechnikern als „Geheimtipp“ zu überlassen ist wirklich schade. Aber das ist Deine Entscheidung.

Gruß --Heuerli 09:10, 31. Jan. 2008 (CET)

ok. werde später genauer darauf eingehen. MovGP0 20:22, 16. Feb. 2008 (CET)