Kurve/Mittelwertabschätzung und Integralabschätzung/Bemerkung

Aus Fakt kann man Fakt für eine stetig differenzierbare Kurve

$f\colon I\longrightarrow V$

gewinnen. Mit ${}g=f'$ ist nämlich

${}\Vert {f(b)-f(a)}\Vert =\Vert {\int _{a}^{b}g(t)\,dt}\Vert \leq \int _{a}^{b}\Vert {g(t)}\Vert \,dt=(b-a)\Vert {g(c)}\Vert =(b-a)\Vert {f'(c)}\Vert \,$

für ein gewisses ${}c\in [a,b]$, dessen Existenz aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung folgt.