Laurent-Reihe/Hauptteil/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} _{-}}c_{n}z^{n}$ eine Laurent-Reihe zu ausschließlich negativen Indizes. Es gebe ein ${}z_{0}\neq 0$ derart, dass die Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} _{-}}c_{n}z_{0}^{n}$ konvergiert. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die Laurent-Reihe konvergiert für jedes ${}z$ mit ${}\vert {z}\vert >\vert {z_{0}}\vert$.
2. Für jedes ${}s$ mit ${}s>\vert {z_{0}}\vert$ ist die Laurent-Reihe auf ${}{\mathbb {C} }\setminus U{\left(0,s\right)}$ punktweise absolut und gleichmäßig konvergent.
3. Es gibt ein (minimales) ${}r\geq 0$ derart, dass die Reihe auf ${}{\mathbb {C} }\setminus B\left(0,r\right)$ konvergiert und dort eine holomorphe Funktion darstellt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen