Laurent-Reihe/Kreisring/Identitätssatz/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt sind beide Laurent-Reihen konvergent auf einem offenen Kreisring und wegen der Voraussetzung können wir zu einem Kreisring übergehen, wo beide konvergieren und zwar so, dass auf einer offenen Menge davon die Funktionen übereinstimmen. Wir können weiter davon ausgehen, dass die eine Laurent-Reihe die Laurent-Reihe aus Fakt ist. Nach Bemerkung können wir weiter zu einem Kreis mit Radius ${}s$ übergehen. Wir setzen in die dortige Formel für ${}f(z)$ die nach Voraussetzung konvergente Laurent-Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }d_{n}z^{n}$ ein und erhalten

${}{\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{2\pi s^{n}}}\int _{0}^{2\pi }f(se^{{\mathrm {i} }t})e^{-n{\mathrm {i} }t}dt\\&={\frac {1}{2\pi s^{n}}}\int _{0}^{2\pi }{\left(\sum _{k\in \mathbb {Z} }d_{k}s^{k}e^{k{\mathrm {i} }t}\right)}e^{-n{\mathrm {i} }t}dt\\&={\frac {1}{2\pi s^{n}}}\sum _{k\in \mathbb {Z} }d_{k}s^{k}\int _{0}^{2\pi }e^{(k-n){\mathrm {i} }t}dt\\&=d_{n},\end{aligned}}$

da bei ${}k\neq n$ die Integrale nach Fakt gleich ${}0$ sind.

Zur bewiesenen Aussage