Linear reduktive Gruppe/Algebraische (Ko)Operation/Endlich erzeugt/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ein -Algebraerzeugendensystem von . Nach Fakt gibt es einen endlichdimensionalen -Untervektorraum , der -invariant ist. Es sei der zum Vektorraum gehörende Polynomring, auf dem linear operiert. Es ist

ein surjektiver -Algebrahomomorphismus, der mit den Operationen von verträglich ist. Zu einem invarianten Element gibt es ein , das auf abbildet. Wiederum nach Fakt gibt es einen endlichdimensionalen -invarianten Untervektorraum mit . Dann ist ebenfalls -invariant und nach Aufgabe, angewandt auf

gibt es auch ein -invariantes , das auf abbildet. Es ist also

ebenfalls surjektiv. Nach Fakt ist und somit endlich erzeugt.