Lineare Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung linear/Fakt/Beweis

Beweis

Seien ${}w_{1},w_{2}\in W$. Wegen der Bijektivität gibt es eindeutige ${}v_{1},v_{2}\in V$ mit ${}\varphi (v_{1})=w_{1}$ und ${}\varphi (v_{2})=w_{2}$. Somit ist

${}{\begin{aligned}\varphi ^{-1}(w_{1}+w_{2})&=\varphi ^{-1}(\varphi (v_{1})+\varphi (v_{2}))\\&=\varphi ^{-1}(\varphi (v_{1}+v_{2}))\\&=v_{1}+v_{2}\\&=\varphi ^{-1}(w_{1})+\varphi ^{-1}(w_{2}).\end{aligned}}$

Entsprechend ist (mit ${}s\in K$)

${}{\begin{aligned}\varphi ^{-1}(sw)&=\varphi ^{-1}(s\varphi (v))\\&=\varphi ^{-1}(\varphi (sv))\\&=sv\\&=s\varphi ^{-1}(w).\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage