Lineare Abbildung/Bild und Urbild/Untervektorräume/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Um diese Aussagen zu zeigen, werden wir die Definitionen von Untervektorraum und K-linearer Abbildung verwenden.

Ein Untervektorraum U eines K-Vektorraums V muss die folgenden Eigenschaften erfüllen:

1. Die Nullvektor 0 ∈ U. 2. Für alle u, v ∈ U ist u + v ∈ U. 3. Für alle u ∈ U und k ∈ K ist k * u ∈ U.

Eine K-lineare Abbildung φ : V ⟶ W zwischen zwei K-Vektorräumen erfüllt die Eigenschaft:

φ(k * v) = k * φ(v) für alle k ∈ K und v ∈ V.

Lassen Sie uns nun die gegebenen Aussagen zeigen:

1. Sei S ⊆ V ein Untervektorraum von V. Wir müssen zeigen, dass das Bild φ(S) ebenfalls ein Untervektorraum von W ist.

  - Die Nullvektor-Bedingung: Da 0 ∈ S (weil S ein Untervektorraum ist), haben wir φ(0) = 0, wobei 0 der Nullvektor in W ist. Daher ist 0 ∈ φ(S).
  - Die Additionseigenschaft: Seien u, v ∈ S. Da S ein Untervektorraum ist, ist u + v ∈ S. Somit haben wir φ(u + v) = φ(u) + φ(v), wobei φ(u), φ(v) ∈ φ(S), was bedeutet, dass φ(u) + φ(v) ∈ φ(S).
  - Die Skalarmultiplikation: Sei k ∈ K und u ∈ S. Da S ein Untervektorraum ist, ist k * u ∈ S. Daher haben wir φ(k * u) = k * φ(u), wobei k * φ(u) ∈ φ(S), was bedeutet, dass k * φ(u) ∈ φ(S).

  Da φ(S) die Eigenschaften eines Untervektorraums erfüllt, ist φ(S) ein Untervektorraum von W.

2. Das Bild bild(φ) = φ(V) ist das Bild der gesamten Abbildung φ. Nachdem wir gezeigt haben, dass das Bild eines Untervektorraums (φ(S)) ein Untervektorraum von W ist, folgt sofort, dass das Bild der gesamten Abbildung, also φ(V), auch ein Untervektorraum von W ist.

3. Sei T ⊆ W ein Untervektorraum von W. Wir müssen zeigen, dass das Urbild φ^(-1)(T) ein Untervektorraum von V ist.

  - Die Nullvektor-Bedingung: Da 0 ∈ T (weil T ein Untervektorraum ist), haben wir φ^(-1)(0) = {v ∈ V : φ(v) ∈ 0}, was äquivalent dazu ist, dass φ(v) = 0. Daher ist 0 ∈ φ^(-1)(T).
  - Die Additionseigenschaft: Seien u, v ∈ φ^(-1)(T). Das bedeutet, φ(u) ∈ T und φ(v) ∈ T. Da T ein Untervektorraum ist, ist auch φ(u) + φ(v) ∈ T. Somit haben wir φ(u + v) = φ(u) + φ(v), wobei u + v ∈ φ^(-1)(T).
  - Die Skalarmultiplikation: Sei k ∈ K und u ∈ φ^(-1)(T). Das bedeutet, φ(u) ∈ T. Da T ein Untervektorraum ist, ist auch k * φ(u) ∈ T. Daher haben wir φ(k * u) = k * φ(u), wobei k * u ∈ φ^(-1)(T).

  Da φ^(-1)(T) die Eigenschaften eines Untervektorraums erfüllt, ist φ^(-1)(T) ein Untervektorraum von V.

4. Speziell für das Urbild des Nullvektors: Das Urbild des Nullvektors ist φ^(-1)(0), was nach dem oben gezeigten auch ein Untervektorraum von V ist.

Damit haben wir gezeigt, dass die gegebenen Aussagen gelten.