Lineare Abbildung/Diagonalisierbar/Direkte Summe aus Eigenräumen/Fakt/Beweis

Beweis

Wenn ${}\varphi$ diagonalisierbar ist, so gibt es eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ aus Eigenvektoren. Es ist dann

${}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}=\langle v_{i},\,{\text{der Eigenwert zu }}v_{i}{\text{ ist }}\lambda \rangle \,.$

Daher ist

${}V=\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{k}}{\left(\varphi \right)}\,,$

wobei die Direktheit sich aus Fakt ergibt. Wenn umgekehrt

${}V=\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{k}}{\left(\varphi \right)}\,$

vorliegt, so kann man in jedem der Eigenräume eine Basis wählen. Diese Basen bestehen aus Eigenvektoren und ergeben zusammen eine Basis von ${}V$.

Zur bewiesenen Aussage