Es sei . Es sei
der
Kern
der Abbildung und seine
Dimension
().
Es sei
-
eine
Basis
von .
Aufgrund des Basisergänzungssatzes
gibt es Vektoren
-
derart, dass
-
eine Basis von ist. Wir behaupten, dass
-
eine Basis des Bildes ist. Es sei ein Element des Bildes . Dann gibt es ein mit . Dieses lässt sich mit der Basis als
-
schreiben. Dann ist
so dass sich als
Linearkombination
der schreiben lässt.
Zum Beweis der
linearen Unabhängigkeit
der
, ,
sei eine Darstellung der Null gegeben,
-
Dann ist
-
Also gehört zum Kern der Abbildung und daher kann man
-
schreiben. Da insgesamt eine Basis von
vorliegt, folgt, dass alle Koeffizienten
sein müssen, also sind insbesondere
.