Lineare Abbildung/Duale Abbildung/Funktorielle Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Für ${}f\in {W}^{*}$ ist

   ${}{\left(\varphi \circ \psi \right)}^{*}(f)=f\circ {\left(\varphi \circ \psi \right)}={\left(f\circ \varphi \right)}\circ \psi =\varphi ^{*}(f)\circ \psi =\psi ^{*}(\varphi ^{*}(f))\,.$

2. Dies folgt direkt aus ${}f\circ \operatorname {Id} _{V}=f$.
3. Es sei ${}f\in {V}^{*}$ und

   ${}\psi ^{*}(f)=0\,.$

   Wegen der Surjektivität von ${}\psi$ gibt es für jedes ${}v\in V$ ein ${}u\in U$ mit ${}\psi (u)=v$. Daher ist

   ${}f(v)=f(\psi (u))=(\psi ^{*}(f))(u)=0\,$

   und ${}f$ ist selbst die Nullabbildung. Nach Fakt ist ${}\psi ^{*}$ injektiv.

4. Die Voraussetzung bedeutet, dass man ${}U\subseteq V$ als Untervektorraum auffassen kann. Man kann daher nach Fakt

   ${}V=U\oplus U'\,$

   mit einem weiteren ${}K$-Untervektorraum ${}U'\subseteq V$ schreiben. Eine Linearform

   $g\colon U\longrightarrow K$

   lässt sich zu einer Linearform

   ${\tilde {g}}\colon V\longrightarrow K$

   fortsetzen, indem man beispielsweise ${}{\tilde {g}}$ auf ${}U'$ als die Nullform ansetzt. Dies bedeutet die Surjektivität.

Zur bewiesenen Aussage