Lineare Abbildung/Duale Abbildung und transponierte Matrix/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ zwei ${}K$ -Vektorräume mit Basen

{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}{\text{ und }}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}.

Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow W

eine lineare Abbildung, die bezüglich dieser Basen durch die Matrix ${}M$ beschrieben werde. Zeige, dass die duale Abbildung

W^{*}\longrightarrow V^{*},\,f\longmapsto f\circ \varphi ,

bezüglich der Dualbasen

v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}{\text{ und }}w_{1}^{*},\ldots ,w_{m}^{*}

durch die transponierte Matrix ${}{M^{\text{tr}}}$ beschrieben wird.