Lineare Abbildung/Festlegung auf Standardbasis/Zahlenraum/Fakt/Beweis
Beweis
Da sein soll und eine lineare Abbildung nach Fakt (2) für jede Linearkombination die Eigenschaft
erfüllt, und jeder Vektor
sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.
Wir definieren nun umgekehrt eine
Abbildung
indem wir jeden Vektor mit der gegebenen Standardbasis als
schreiben und
ansetzen. Da die Darstellung von als eine solche
Linearkombination
eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert.
Zur Linearität. Für zwei Vektoren
und
gilt