Lineare Abbildung/Körperwechsel/Matrix/Fakt/Beweis

Beweis

Wegen Fakt liegen in der Tat Basen vor. Das Basiselement ${}v_{j}$ von ${}V$ wird unter ${}\varphi$ auf

{}\varphi (v_{j})=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}w_{i}\,

abgebildet. Somit wird das Basiselement ${}1\otimes v_{j}$ von ${}V_{L}$ unter ${}\varphi _{L}$ auf

{}\varphi (1\otimes v_{j})=1\otimes \varphi (v_{j})=1\otimes {\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}w_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}{\left(1\otimes w_{i}\right)}\,.

Die Koeffizienten ${}a_{ij}$ konstituieren also die beschreibende Matrix von ${}\varphi _{L}$ .