Lineare Abbildung/Kern und Bild/Direkte Summe/Aufgabe

Es sei ${}A={\begin{pmatrix}3&1&5\\-1&0&2\end{pmatrix}}$ und

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,x\longmapsto A\cdot x$

die zugehörige lineare Abbildung.

1. Bestimme jeweils eine Basis und die Dimension von ${}\operatorname {kern} f$ und ${}\operatorname {bild} f$.
2. Finde einen Untervektorraum ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ derart, dass

   ${}\mathbb {R} ^{3}=V\oplus \operatorname {kern} f\,$

   gilt.

3. Gibt es auch einen Untervektorraum ${}U\subset \mathbb {R} ^{2}$, ${}U\neq 0$, mit ${}\mathbb {R} ^{2}=U\oplus \operatorname {bild} f$?

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