Lineare Abbildung/R/Bild/Einheitskugel/Beschränkt/Fakt/Beweis

Beweis

Wir fixieren ein Skalarprodukt auf ${}V$ und auf ${}W$ und wählen eine Orthonormalbasis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$. Sei ${}v=\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}$ aus ${}B\left(0,1\right)$. Wegen

${}\Vert {v}\Vert ^{2}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\leq 1\,$

ist

${}\vert {a_{i}}\vert \leq 1\,.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}\Vert {L(v)}\Vert &=\Vert {L{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\right)}}\Vert \\&=\Vert {\sum _{i=1}^{n}a_{i}L(v_{i})}\Vert \\&\leq \sum _{i=1}^{n}\vert {a_{i}}\vert \Vert {L(v_{i})}\Vert \\&\leq \sum _{i=1}^{n}\Vert {L(v_{i})}\Vert ,\end{aligned}}$

das heißt, dass die Beschränktheit mit

${}b:=\sum _{i=1}^{n}\Vert {L(v_{i})}\Vert \,$

gilt.

Zur bewiesenen Aussage