Lineare Abbildung/Zahlenraum/Matrix zu Standardbasis und umgekehrt/Definition

Matrix zu linearer Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}m,n\in \mathbb {N}$. Zu einer linearen Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

heißt die ${}m\times n$-Matrix

${}M=(a_{ij})_{ij}\,,$

wobei ${}a_{ij}$ die ${}i$-te Koordinate von ${}\varphi (e_{j})$ bezüglich der Standardbasis ${}e_{i}$ des ${}K^{m}$ ist, die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ (bezüglich der Standardbasen).

Zu einer Matrix ${}M=(a_{ij})_{ij}\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ heißt die durch

$e_{j}\longmapsto \sum _{i=1}^{m}a_{ij}e_{i}$

gemäß Fakt definierte lineare Abbildung die durch ${}M$ festgelegte lineare Abbildung.