Wir bezeichnen die Matrix zu einer linearen Abbildung
mit
und die lineare Abbildung zu einer Matrix mit
. Wir zeigen, dass beide Hintereinanderschaltungen die Identität sind. Wir starten mit einer Matrix
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![{\displaystyle {}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6392be4f34ee5fded85d85648612817fdef2491)
und betrachten die Matrix
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Zwei Matrizen sind gleich, wenn für jedes Indexpaar
die Einträge übereinstimmen. Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}(M(\varphi (M)))_{ij}&=i-{\text{te Koordinate von }}(\varphi (M))(e_{j})\\&=i-{\text{te Koordinate von }}\sum _{k=1}^{m}a_{kj}e_{k}\\&=a_{ij}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb833c29edd988263b4f59ddc174b41fc7231a6)
Es sei nun
eine lineare Abbildung, und betrachten wir
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Zwei lineare Abbildungen stimmen nach
Fakt
überein, wenn man zeigen kann, dass sie auf der Standardbasis übereinstimmen. Es ist
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![{\displaystyle {}(\varphi (M(\varphi )))(e_{j})=\sum _{i=1}^{m}(M(\varphi )_{ij})\,e_{i}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ebd5dfcccd6b70bdc3f2e658df76eb61e04641e)
Dabei ist nach Definition von
der Koeffizient
die
-te Koordinate von
bezüglich der Standardbasis des
. Damit ist diese Summe gleich
.