Wir bezeichnen die Matrix zu einer linearen Abbildung mit und die lineare Abbildung zu einer Matrix mit . Wir zeigen, dass beide Hintereinanderschaltungen die Identität sind. Wir starten mit einer Matrix
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und betrachten die Matrix
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Zwei Matrizen sind gleich, wenn für jedes Indexpaar die Einträge übereinstimmen. Es ist
Es sei nun eine lineare Abbildung, und betrachten wir
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Zwei lineare Abbildungen stimmen nach
Fakt
überein, wenn man zeigen kann, dass sie auf der Standardbasis übereinstimmen. Es ist
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Dabei ist nach Definition von der Koeffizient die -te Koordinate von bezüglich der Standardbasis des . Damit ist diese Summe gleich .