Lineare Abbildungen/Tensorprodukt/Wohldefiniertheit/Fakt/Beweis

Beweis

Die Gesamtabbildung

$V_{1}\times \cdots \times V_{n}{\stackrel {\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}}{\longrightarrow }}W_{1}\times \cdots \times W_{n}{\stackrel {\pi }{\longrightarrow }}W_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}W_{n}$

ist nach Aufgabe multilinear. Dies induziert nach Fakt eine lineare Abbildung

$V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}\longrightarrow W_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}W_{n},\,v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}\longmapsto \varphi (v_{1})\otimes _{}\cdots \otimes _{}\varphi (v_{n}).$

Zur bewiesenen Aussage