Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe/Lösung

1. Ein Körper ${}K$ ist ein kommutativer Ring, wenn ${}K\neq 0$ ist und wenn jedes von ${}0$ verschiedene Element in ${}K$ ein multiplikatives Inverses besitzt.
2. Man sagt, dass ${}V$ die direkte Summe der ${}U_{i}$ ist, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.
   1. ${}U_{i}\cap {\left(\sum _{j\neq i}U_{j}\right)}=0$ für alle ${}i$.
   2. Jeder Vektor ${}v\in V$ besitzt eine Darstellung

      ${}v=u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{m}\,$

      mit ${}u_{i}\in U_{i}$.

3. Eine Familie von Vektoren ${}v_{i}$, ${}i\in I$, heißt linear unabhängig, wenn eine Gleichung

   $\sum _{i\in J}a_{i}v_{i}=0{\text{ mit }}a_{i}\in K{\text{ für eine endliche Teilmenge }}J\subseteq I$

   nur bei ${}a_{i}=0$ für alle ${}i$ möglich ist.

4. Die Abbildung

   $\Phi \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W$

   heißt alternierend, wenn ${}\Phi$ multilinear ist und wenn folgendes gilt: falls in ${}v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ zwei Einträge übereinstimmen, also ${}v_{i}=v_{j}$ für ein Paar ${}i\neq j$, so ist

   ${}\Phi (v)=0\,.$

5. Man nennt

   $\operatorname {dim} _{}\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)$

   die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts.

6. Unter einem affinen Unterraum von ${}V$ versteht man (die leere Menge oder) eine Teilmenge der Form

   ${}w+U={\left\{w+u\mid u\in U\right\}}\,,$

   wobei ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum und ${}w\in V$ ein Vektor ist.

Zur gelösten Aufgabe